集合半環が生成する最小環へのσ-加法測度の拡張

集合半環が生成する最小環へのσ-加法測度の拡張

集合\(X\)上の集合半環\begin{equation*}\mathfrak{S}\subset 2^{X}
\end{equation*}および集合半環上に定義された\(\sigma \)-加法測度\begin{equation*}m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\mathfrak{S}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \phi \in \mathfrak{S} \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S}:A\cap B\in \mathfrak{S}
\\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S},\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}:A\backslash
B=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、\(m\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{S}:0\leq m\left( A\right)
\leq +\infty \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{S}:\left[
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{S}\Rightarrow m\left(
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }m\left(
A_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}を満たすということです。

以上の状況のもとでは、集合半環上に存在するそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{S}\)に対して、その測度\(m\left( A\right) \)を特定できます。逆に言うと、集合半環\(\mathfrak{S}\)上に定義された\(\sigma \)-加法測度\(m\)のもとでは、\(\mathfrak{S}\)に属さない\(X\)の部分集合の測度を特定できません。より多くの集合の測度を特定するためには何らかの工夫が必要です。

集合半環\(\mathfrak{S}\)から定義される集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{R}_{\lambda }\text{は}\mathfrak{S}\subset \mathfrak{R}_{\lambda }\text{を満たす集合環}\right\}
\end{equation*}の共通部分をとれば\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の最小環\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }
\end{equation*}が得られます。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)は\(\mathfrak{S}\)を部分集合として持つ集合環であるとともに、同じく\(\mathfrak{S}\)を部分集合として持つ任意の集合環の部分集合でもあります。より正確には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) =\mathfrak{R}_{\lambda ^{\prime }} \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \subset \mathfrak{R}_{\lambda ^{\prime }}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。集合半環\(\mathfrak{S}\)に属する互いに素な有限個の集合\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\)の和集合\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を基本集合と呼びますが、すべての基本集合からなる集合族は\(\mathfrak{S}\)から生成される最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)と一致します。つまり、\begin{equation}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) =\left\{ \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\ |\
\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

いずれにせよ、集合半環\(\mathfrak{S}\)と、\(\mathfrak{S}\)から生成される最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{S}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right)
\end{equation*}が成立します。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)は\(\mathfrak{S}\)よりも広いクラスの\(X\)の部分集合族であるため、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)に属する集合に対しても、その測度を特定できれば望ましいと言えます。このような事情を踏まえた上で、集合半環\(\mathfrak{S}\)上に定義された\(\sigma \)-加法測度\(m\)を用いて、最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)に属する集合の測度を以下の要領で測定します。

集合半環\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)および\(\sigma \)-加法測度\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられているものとします。また、\(\mathfrak{S}\)から生成される最小環を\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)で表記します。基本集合\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)より、これに対して\(\mathfrak{S}\)に属する有限個の互いに素な集合\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\)が存在して、\begin{equation}A=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k} \quad \cdots (2)
\end{equation}と表すことができます。\(\sigma \)-加法測度\(m\)は有限加法性を満たすため、\(\left( 2\right) \)の右辺に対して、その測度\begin{equation*}m\left( \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}m\left( A_{k}\right)
\end{equation*}を特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれの基本集合\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\hat{m}\left( A\right) =\sum_{k=1}^{n}m\left( A_{k}\right)
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。

集合半環上の集合\(A\in \mathfrak{S}\)を任意に選びます。明らかに、\begin{equation*}A=A
\end{equation*}が成り立つため、\(A\)は\(\mathfrak{S}\)に属する1つの互いに素な集合\(A\in \mathfrak{S}\)の和集合として表される基本集合です。したがって、\(\hat{m}\)の定義より、\begin{equation*}\hat{m}\left( A\right) =m\left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。同様の議論が集合半環\(\mathfrak{S}\)上の任意の集合について成立するため、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{S}:\hat{m}\left( A\right) =m\left( A\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\hat{m}\)の定義域を\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)から\(\mathfrak{S}\)へ縮小すれば\(m\)が得られます。このような事情を踏まえた上で、\(\hat{m}\)を\(m\)の拡張（extension of \(m\)）と呼びます。

σ-加法測度の拡張の非負性

集合半環\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度\(m\)の拡張\(\hat{m}\)は非負性を満たします。つまり、基本集合\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}0\leq \hat{m}\left( A\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえた上で、以降では\(\hat{m}\)を、\begin{equation*}\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。

σ-加法測度の拡張のσ-加法性

集合半環\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度\(m\)の拡張\(\hat{m}\)は\(\sigma \)-加法性を満たします。つまり、可算個の互いに素な基本集合\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)の和集合について、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、その測度について、\begin{equation*}
\hat{m}\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\hat{m}\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、右辺は拡大実数列\(\left\{ \hat{m}\left( A_{n}\right) \right\} _{n=1}^{+\infty}\)の項の無限級数の和であり、具体的には、部分和\begin{equation*}S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\hat{m}\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を項とする拡大実数列\(\left\{ S_{N}\right\} _{N=1}^{+\infty }\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、先の関係を正確に表現すると、\begin{equation*}\hat{m}\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right)
=\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }\sum_{n=1}^{N}\hat{m}\left( A_{n}\right)
\end{equation*}となります。

集合半環\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度\(m\)の拡張\(\hat{m}\)は有限可能性を満たします。つまり、有限個の互いに素な基本集合\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)を任意に選んだとき、集合環は有限合併について閉じていることから、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\hat{m}\)はその測度\(\hat{m}\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right) \)を定めますが、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の和集合の測度と、\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{n}\)の要素である個々の基本集合の測度の間には以下の関係\begin{equation*}\hat{m}\left( \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}\hat{m}\left(
A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、基本集合を有限個の互いに素な部分に分割した場合、全体の測度は有限個の部分の測度の和と一致するということです。

σ-加法測度の拡張はσ-加法測度

集合半環\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度\(m\)の拡張\(\hat{m}\)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たすことが明らかになりました。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right)
:0\leq m\left( A\right) \leq +\infty \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{R}\left(
\mathfrak{S}\right) :\left[ \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \Rightarrow \hat{m}\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty
}A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\hat{m}\left( A_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}がともに成り立つということです。以上の事実は、\(\hat{m}\)が\(\sigma \)-加法測度であることを意味します。

σ-加法測度の拡張の一意性

集合半環\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度\(m\)の拡張\(\hat{m},\widetilde{m}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{S}:\hat{m}\left( A\right) =\widetilde{m}\left(
A\right) =m\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(\hat{m}\)と\(\widetilde{m}\)は一致します。つまり、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) :\hat{m}\left( A\right) =\widetilde{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。以上の事実は、\(m\)の拡張が一意的に定まることを意味します。

σ-加法測度の拡張のもとでの測度の一意性

基本集合\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)を任意に選んだとき、それに対して集合半環\(\mathfrak{S}\)に属する有限個の互いに素な集合\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\)が存在して、\begin{equation*}A=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}と表現できます。さらに、\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度\(m\)の拡張\(\hat{m}\)は有限加法性を満たすため、この基本集合\(A\)の測度は、\begin{equation}\hat{m}\left( A\right) =\sum_{k=1}^{n}\hat{m}\left( A_{k}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定まります。ただし、集合を有限展開する方法は一意的であるとは限りません。つまり、先の基本集合\(A\)に対して、先ほどとは異なる有限個の互いに素な集合\(\left\{B_{l}\right\} _{l=1}^{m}\subset \mathfrak{S}\)が存在して、\begin{equation*}A=\bigcup_{l=1}^{m}B_{l}
\end{equation*}と表現できるということです。このとき、やはり\(\hat{m}\)の有限加法性より、\begin{equation}\hat{m}\left( A\right) =\sum_{l=1}^{m}\hat{m}\left( B_{l}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と定まります。つまり、同一の基本集合を異なる形で有限展開したとき、その測度は\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)のように異なる形で表されますが、実は、両者の値は必ず一致します。基本集合の測度は有限展開の仕方によらず一定であるということです。

σ-加法測度の拡張のもとでの空集合の測度

集合環は空集合\(\phi \)を要素として持つため、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度\(m\)の拡張\(\hat{m}\)は空集合\(\phi \)の測度を定めますが、\begin{equation*}\hat{m}\left( \phi \right) =0
\end{equation*}となります。つまり、空集合の測度は\(0\)です。

σ-加法測度の拡張の減法性

基本集合\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)について\(A\subset B\)が成り立つものとします。集合環は差集合について閉じているため\(B\backslash A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)ですが、この差集合の測度に関して、\begin{equation*}\hat{m}\left( B\backslash A\right) =\hat{m}\left( B\right) -\hat{m}\left(
A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であるとき、差集合\(B\backslash A\)の測度は\(B\)の測度から\(A\)の測度を引くことにより得られるということです。ただし、\(\hat{m}\left( A\right) =+\infty \)の場合には上のような差は定義不可能であるため、有限な測度を持つ\(A\)に関してのみ成立します。\(\hat{m}\)が満たすこのような性質を減法性（subtractivity）と呼びます。

σ-加法測度の拡張の単調性

基本集合\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)について\(A\subset B\)が成り立つ場合には、両者の測度の間に以下の関係\begin{equation*}\hat{m}\left( A\right) \leq \hat{m}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合である場合、\(A\)の測度は\(B\)の測度以下になるということです。\(\hat{m}\)が満たすこのような性質を単調性（monotonicity）と呼びます。