公理主義的測度論の考え方
公理主義的測度論の舞台は3つの要素から構成されます。1つ目は、外延量を測定する対象となる舞台であり、これを集合\begin{equation*}
X
\end{equation*}として定式化します。
外延量の測定対象は全体集合\(X\)の部分集合として表現されますが、外延量を測定する前に、外延量の測定対象となる集合の範囲を定めておく必要があります。そこで、外延量の測定対象となる\(X\)の部分集合をすべて集めることによりできる\(X\)の部分集合族を、\begin{equation*}\mathfrak{M}\subset 2^{X}
\end{equation*}で表記します。つまり、\(A\in \mathfrak{M}\)を満たす集合\(A\subset X\)のみを外延量の測定対象とするということです。
外延量を記述するために残された課題は、集合族\(\mathfrak{M}\)に属するそれぞれの集合に対して、その外延量を特定することです。そこで、それぞれの集合\(A\in \mathfrak{M}\)に対して、その外延量に相当する拡大実数\(\mu \left( A\right) \in \overline{\mathbb{R} }\)を1つずつ割り当てる集合関数\begin{equation*}\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を導入します。
公理主義的測度論では、以上の3つの要素から構成される概念\begin{equation*}
\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}が満たすべき性質を公理として定めた上で、そこを出発点に議論を行うことになります。
可測空間
公理主義的測度論では、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)が\(\sigma \)-代数であることを公理として定めます。つまり、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}が成り立つことを公理として定めるということです。これらの公理を総称して可測空間の公理（axiom of measurable space）と呼びます。また、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{M}\)が可測空間の公理を満たす場合には、すなわち\(\mathfrak{M}\)が\(\sigma \)-代数である場合には、これらの組\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{A}\right)
\end{equation*}を可測空間（measurable space）や可測集合族（family of measurable sets）などと呼びます。さらに、集合\(X\)の部分集合\(A\in 2^{X}\)が可測空間の公理を満たす集合族\(\mathfrak{A}\)に属する場合には、すなわち、\begin{equation*}A\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を可測集合（measurable set）と呼びます。
\end{equation*}と定義すれば、\begin{equation*}
\left( X,\mathfrak{M}\right)
\end{equation*}は可測空間になります（演習問題）。
\end{equation*}と定義すれば、\begin{equation*}
\left( X,\mathfrak{M}\right)
\end{equation*}は可測空間になります（演習問題）。
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty
}\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義します。以上の事実は\(\mathcal{F}\)が\(\sigma \)-代数であることを意味するため、\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F}\right)
\end{equation*}は可測空間です。
\end{equation*}は可測空間です。
\end{equation*}として定義されますが、ボレル集合族は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}は可測空間です。
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:A^{c}\in \mathfrak{M}_{\mu } \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}_{\mu }:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{eqnarray*}を満たしますが、以上の事実は、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が可測空間であることを意味します。
\end{equation*}として定義されますが、ボレル集合族は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}は可測空間です。
測度空間
可測空間\(\left( X,\mathfrak{M}\right) \)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。外延量を記述するためには、それぞれの可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)に対して、その外延量に相当する拡大実数\(\mu \left( A\right) \in \overline{\mathbb{R} }\)を1つずつ割り当てる集合関数\begin{equation*}\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が必要です。公理主義的測度論では、この集合関数\(\mu \)が以下の3つの命題を満たすことを公理として定めます。
可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき、\(A\)が可測であることから集合関数\(\mu \)はこの集合\(A\)に対して拡大実数\(\mu \left(A\right) \)を付与することが保証されます。以上を踏まえた上で、その値は非負の有限な実数または正の無限大であること、すなわち、\begin{equation*}0\leq \mu \left( A\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つことを1つ目の公理として定めます。これを非負性の公理（axiom of non-negativity）と呼びます。
\(\sigma \)-代数は空集合を要素として含むため、可測空間\(\left( X,\mathfrak{M}\right) \)において\(\phi \in \mathfrak{M}\)が成り立ちます。したがって集合関数\(\mu \)は空集合\(\phi \)に対して拡大実数\(\mu \left( \phi \right) \)を付与することが保証されます。以上を踏まえた上で、その値は\(0\)であること、すなわち、\begin{equation*}\mu \left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つことを2つ目の公理として定めます。
可算個の互いに素な可測集合を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( b\right) \ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( m\not=n\Rightarrow A_{m}\cap A_{n}=\phi \right)
\end{eqnarray*}をともに満たす可算集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)を任意に選びます。\(\left(a\right) \)より、この集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)の要素である可算個の集合はいずれも可測ですが、可測空間の公理より集合族\(\mathfrak{M}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって集合関数\(\mu \)はこの和集合\(\bigcup_{n=1}^{+\infty}A_{n}\)に対して拡大実数\(\mu\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \)を付与することが保証されます。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu
\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことを3つ目の公理として定めます。ただし、右辺は可算個の拡大実数の和、すなわち無限級数であるため、これは部分和\begin{equation*}
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\mu \left( A_{n}\right)
\end{equation*}を一般項とする拡大実数列\(\left\{ S_{N}\right\} _{N=1}^{+\infty }\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、先の公理を正確に表現すると、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\lim\limits_{N\rightarrow
+\infty }\sum_{n=1}^{N}\mu \left( A_{n}\right)
\end{equation*}となります。これを\(\sigma \)-加法性の公理（axiom of \(\sigma \)-additivity）や可算加法性の公理（axiom of countably additivity）などと呼びます。
改めて整理すると、可測空間\(\left( X,\mathfrak{M}\right) \)が与えられたとき、公理主義的測度論では集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めます。これらの公理を総称して測度の公理（axiom of measure）と呼びます。また、測度の公理を満たす集合関数\(\mu \)を測度（measure）と呼び、測度\(\mu \)が可測集合\(A\)に対して定める拡大実数\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)の測度（measure of \(A\)）と呼びます。公理\(\left( \mu _{1}\right) \)を踏まえた上で、以降では測度を、\begin{equation*}\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}と表記します。
可測空間\(\left( X,\mathfrak{M}\right) \)と測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる組\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}を測度空間（measure space）と呼びます。改めて整理すると、\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が測度空間であることとは、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)が可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。
X=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}に対して、その集合族を、\begin{equation*}
\mathfrak{M}=2^{X}
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( X,\mathfrak{M}\right) \)は可測空間になります。その上で、集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)に対して、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{6}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\vert A\right\vert \)は集合\(A\)に含まれる要素の個数です。これらの組\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間になります（演習問題）。
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( X,\mathfrak{M}\right) \)が可測空間になることは先に示した通りです。さらに、集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を、\begin{eqnarray*}\mu \left( \phi \right) &=&0 \\
\mu \left( X\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義すれば、これらの組\begin{equation*}
\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間になります（演習問題）。
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty
}\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義します。さらに、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:0\leq \mu \left( A\right)
\\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathcal{F}:P\left(
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }P\left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は測度空間になります（演習問題）。このような測度空間を確率空間（probability space）と呼びます。
\end{equation*}は可測空間です。さらに、ルベーグ測度\(\mu:\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理を満たすため、ルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。
\end{equation*}は可測空間です。さらに、ボレル測度\(\mu :\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理を満たすため、ボレル測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。
\end{equation*}は可測空間です。さらに、ルベーグ測度\(\mu:\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理を満たすため、ルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。
\end{equation*}は可測空間です。さらに、ボレル測度\(\mu :\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理を満たすため、ボレル測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ,\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。
演習問題
\end{equation*}と定義します。さらに、集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を、\begin{eqnarray*}\mu \left( \phi \right) &=&0 \\
\mu \left( X\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義します。これらの組\begin{equation*}
\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}が測度空間であることを示してください。
X=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}に対して、その集合族を、\begin{equation*}
\mathfrak{M}=2^{X}
\end{equation*}と定義します。さらに、集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)に対して、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{6}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\vert A\right\vert \)は集合\(A\)に含まれる要素の個数です。これらの組\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}が測度空間であることを示してください。
X=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}の部分集合族を、\begin{equation*}
\mathfrak{M}=\left\{ \phi ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,X\right\}
\end{equation*}と定義します。集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{M}\)に対して、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ A=\phi \right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ A=\left\{ a\right\} \right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ A=\left\{ b\right\} \right) \\
1 & \left( if\ A=X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が測度空間であることを示してください。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}の部分集合族として、\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathfrak{M}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}を採用します。集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用します。\(\left( \Omega ,\mathfrak{M},\mu \right) \)が測度空間であることを示してください。
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