可測集合の補集合の測度

補集合の測度

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとします。つまり、可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)を任意に選べば、測度\(\mu \)はそれに対して測度\(\mu \left(A\right) \)を定めます。\(\left(M_{2}\right) \)より、\begin{equation*}A^{c}=X\backslash A\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立つため、測度\(\mu \)は補集合に対しても測度\(\mu \left( A^{c}\right) \)を定めますが、\begin{equation*}\mu \left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には以下の関係\begin{equation*}
\mu \left( A^{c}\right) =\mu \left( X\right) -\mu \left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が有限測度を持つ場合、その補集合\(A^{c}\)の測度は、全体集合\(X\)の測度から\(A\)の測度を引くことにより得られます。

有限測度空間における補集合の測度

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation}\forall A\in \mathfrak{M}:\left[ \mu \left( A\right) <+\infty \Rightarrow
\mu \left( A^{c}\right) =\mu \left( X\right) -\mu \left( A\right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。この命題中の条件\begin{equation*}
\mu \left( A\right) <+\infty
\end{equation*}は必須なのでしょうか。全体集合\(X\)の測度が、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =+\infty
\end{equation*}である状況において、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) =+\infty
\end{equation*}を満たす可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)に注目した場合、\begin{equation*}\mu \left( X\right) -\mu \left( A\right) =\left( +\infty \right) -\left(
+\infty \right)
\end{equation*}となり、これは不定形なってしまいます。したがって、\(\left( 1\right) \)が有効であるためには、\(A\)を有限測度を持つ集合に限定する必要があります。

一方、測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が有限測度空間である場合には、すなわち、\begin{equation}\mu \left( X\right) <+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、このような問題は常に回避されます。実際、可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき\(A\subset X\)が成り立つため、\(\left( 2\right) \)および\(\mu \)の単調性より、\begin{equation*}\mu \left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と先の命題より、有限測度空間においては、\begin{equation*}
\forall A\in \mathfrak{M}:\mu \left( A^{c}\right) =\mu \left( X\right) -\mu
\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

可測集合の測度がとり得る値の範囲

可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき、その測度がとり得る値の範囲が、\begin{equation*}0\leq \mu \left( A\right) \leq \mu \left( X\right)
\end{equation*}であることが先の命題より導かれます。つまり、任意の可測集合の測度は\(0\)以上\(\mu\left( X\right) \)以下の拡大実数です。