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測度空間

可測集合の共通部分の測度

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可測集合の共通部分は可測

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとします。つまり、可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられたとき、可測集合どうしの和集合の測度を特定する際には測度\(\mu \)の加法性や強加法性、劣加法性などを利用できることが明らかになりましたが、共通部分の測度に関してはどのようなことが言えるのでしょうか。以上の疑問に答える前に、共通部分が可測であることを確認します。

命題(可測集合族は共通部分について閉じている)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、可測集合族\(\mathfrak{M}\)は共通部分について閉じている。つまり、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:A\cap B\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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可測集合族\(\mathfrak{M}\)は有限合併についても閉じています。つまり、有限個の可測集合の共通部分は可測です。

命題(可測集合族は有限合併について閉じている)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、可測集合族\(\mathfrak{M}\)は有限合併について閉じている。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{M}:\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立つ。

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可測集合族\(\mathfrak{M}\)は可算合併についても閉じています。つまり、可算個の可測集合の共通部分は可測です。

命題(可測集合族は可算合併について閉じている)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、可測集合族\(\mathfrak{M}\)は可算合併について閉じている。つまり、\begin{equation*}\forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}:\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立つ。

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共通部分の確率

可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}\)を任意に選ぶと、測度\(\mu \)の強加法性より、\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) +\mu \left( A\cap B\right) =\mu \left( A\right)
+\mu \left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
0\leq \mu \left( A\cup B\right) <+\infty
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\mu \left( A\cap B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right) -\mu
\left( A\cup B\right)
\end{equation*}を得ます。

命題(共通部分の測度)

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\left[ 0\leq \mu \left( A\cup B\right) <+\infty
\Rightarrow \mu \left( A\cap B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left(
B\right) -\mu \left( A\cup B\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

 

有限測度空間における共通部分の測度

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\left[ 0\leq \mu \left( A\cup B\right) <+\infty
\Rightarrow \mu \left( A\cap B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left(
B\right) -\mu \left( A\cup B\right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。この命題中の条件\begin{equation*}
0\leq \mu \left( A\cup B\right) <+\infty
\end{equation*}は必須なのでしょうか。以下の条件\begin{equation*}
\mu \left( A\right) =\mu \left( B\right) =+\infty
\end{equation*}を満たす可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}\)に注目した場合、\(A\subset A\cup B\)および\(\mu \)の単調性より、\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちますが、このとき、\begin{eqnarray*}
\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right) -\mu \left( A\cup B\right)
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}となり、これは不定形になってしまいます。したがって、\(\left(1\right) \)が有効であるためには、\(A\cup B\)が有限測度を持つことを仮定する必要があります。

一方、測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が有限測度空間である場合には、すなわち、\begin{equation}\mu \left( X\right) <+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、このような問題は常に回避されます。実際、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき\(A\cup B\subset X\)が成り立つため、\(\left( 2\right) \)および\(\mu \)の単調性より、\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と先の命題より、有限測度空間においては、\begin{equation*}
\forall A,B\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\cap B\right) =\mu \left( A\right)
+\mu \left( B\right) -\mu \left( A\cup B\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

命題(有限測度空間における共通部分の測度)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\cap B\right) =\mu \left( A\right)
+\mu \left( B\right) -\mu \left( A\cup B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

例(確率空間における共通部分の測度)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が確率空間であるものとします。つまり、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。確率空間は有限測度空間であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\forall A,B\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\cap B\right) =\mu \left( A\right)
+\mu \left( B\right) -\mu \left( A\cup B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

関連知識

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