WIIS

測度空間

可測集合の差集合の測度

目次

Mailで保存
Xで共有

可測集合の差集合は可測

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとします。つまり、可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられたとき、可測集合どうしの差集合の測度に関してはどのようなことが言えるのでしょうか。以上の疑問に答える前に、差集合が可測であることを確認します。

命題(可測集合族は差集合について閉じている)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、可測集合族\(\mathfrak{M}\)は差集合について閉じている。つまり、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:A\backslash B\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

差集合の測度

可測集合族\(\mathfrak{M}\)が差集合について閉じていることが明らかになりました。つまり、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、測度\(\mu \)はその測度\(\mu \left( A\backslash B\right) \)を定めますが、\begin{equation*}0\leq \mu \left( A\cap B\right) <+\infty
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right) -\mu \left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\(B\subset A\)である場合には、\begin{equation*}A\cap B=B
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right) -\mu \left( B\right)
\end{equation*}となります。

命題(差集合の測度)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\left[ 0\leq \mu \left( A\cap B\right) <+\infty
\Rightarrow \mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right) -\mu \left(
A\cap B\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。特に、\(B\subset A\)である場合には、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\left[ 0\leq \mu \left( B\right) <+\infty
\Rightarrow \mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right) -\mu \left(
B\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

有限測度空間における差集合の測度

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\left[ 0\leq \mu \left( A\cap B\right) <+\infty
\Rightarrow \mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right) -\mu \left(
A\cap B\right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。この命題中の条件\begin{equation*}
0\leq \mu \left( A\cap B\right) <+\infty
\end{equation*}は必須なのでしょうか。以下の条件\begin{equation*}
\mu \left( A\cap B\right) =+\infty
\end{equation*}を満たす可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}\)に注目した場合、\(A\cap B\subset A\)および\(\mu \)の単調性より、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) -\mu \left( A\cap B\right) =\left( +\infty \right)
-\left( +\infty \right)
\end{equation*}となり、これは不定形になってしまいます。したがって、\(\left(1\right) \)が有効であるためには、\(A\cap B\)が有限測度を持つことを仮定する必要があります。

一方、測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が有限測度空間である場合には、すなわち、\begin{equation}\mu \left( X\right) <+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、このような問題は常に回避されます。実際、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき、\(A\cap B\subset X\)が成り立つため、\(\left( 2\right) \)および\(\mu \)の単調性より、\begin{equation*}\mu \left( A\cap B\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と先の命題より、有限測度空間においては、\begin{equation*}
\forall A,B\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left(
A\right) -\mu \left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

命題(有限測度空間における差集合の測度)
有限測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu\right) \)において、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left(
A\right) -\mu \left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(B\subset A\)である場合には、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left(
A\right) -\mu \left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

例(確率空間における差集合の測度)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が確率空間であるものとします。つまり、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。確率空間は有限測度空間であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\forall A,B\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left(
A\right) -\mu \left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\(B\subset A\)である場合には、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left(
A\right) -\mu \left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録