可測集合の差集合の測度

可測集合の差集合は可測

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとします。つまり、可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられたとき、可測集合どうしの差集合の測度に関してはどのようなことが言えるのでしょうか。以上の疑問に答える前に、差集合が可測であることを確認します。

差集合の測度

可測集合族\(\mathfrak{M}\)が差集合について閉じていることが明らかになりました。つまり、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、測度\(\mu \)はその測度\(\mu \left( A\backslash B\right) \)を定めますが、\begin{equation*}0\leq \mu \left( A\cap B\right) <+\infty
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right) -\mu \left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\(B\subset A\)である場合には、\begin{equation*}A\cap B=B
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right) -\mu \left( B\right)
\end{equation*}となります。

有限測度空間における差集合の測度

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\left[ 0\leq \mu \left( A\cap B\right) <+\infty
\Rightarrow \mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right) -\mu \left(
A\cap B\right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。この命題中の条件\begin{equation*}
0\leq \mu \left( A\cap B\right) <+\infty
\end{equation*}は必須なのでしょうか。以下の条件\begin{equation*}
\mu \left( A\cap B\right) =+\infty
\end{equation*}を満たす可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}\)に注目した場合、\(A\cap B\subset A\)および\(\mu \)の単調性より、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) -\mu \left( A\cap B\right) =\left( +\infty \right)
-\left( +\infty \right)
\end{equation*}となり、これは不定形になってしまいます。したがって、\(\left(1\right) \)が有効であるためには、\(A\cap B\)が有限測度を持つことを仮定する必要があります。

一方、測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が有限測度空間である場合には、すなわち、\begin{equation}\mu \left( X\right) <+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、このような問題は常に回避されます。実際、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき、\(A\cap B\subset X\)が成り立つため、\(\left( 2\right) \)および\(\mu \)の単調性より、\begin{equation*}\mu \left( A\cap B\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と先の命題より、有限測度空間においては、\begin{equation*}
\forall A,B\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left(
A\right) -\mu \left( A\cap B\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。