σ-代数の生成（集合族が生成する最小σ-代数）

最小σ-代数

集合\(X\)の部分集合族であるような\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、それぞれの\(\lambda \in \Lambda \)について\(\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{X}\)であるとともに、\(\sigma \)-代数の定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \mathfrak{A}_{\lambda }\not=\phi \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{A}_{\lambda }:A^{c}\in
\mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。

集合\(X\)のベキ集合\(2^{X}\)は\(\sigma \)-代数であるため、先に定義した集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は非空であることに注意してください。そこで、この集合族の共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}をとります。それぞれの\(\lambda \in \Lambda \)について\(\mathfrak{A}_{\lambda }\)は\(X\)の部分集合族であるため、\(\bigcap_{\lambda\in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\)もまた\(X\)の部分集合族であることに注意してください。つまり、\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{X}
\end{equation*}です。しかも、\(\bigcap_{\lambda\in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\)もまた\(X\)の\(\sigma \)-代数になります。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda
}\not=\phi \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }:A^{c}\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda
}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。以上の事実は、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\)もまた集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であることを意味します。加えて、共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\subset \mathfrak{A}_{\lambda ^{\prime }}
\end{equation*}が成り立つため、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\)は集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)のすべての要素の部分集合です。

結論を整理すると、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\)は\(X\)のすべての\(\sigma \)-代数の部分集合であるような\(X\)の\(\sigma \)-代数です。このような事情を踏まえた上で、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\)を\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の最小\(\sigma \)-代数（minimum \(\sigma \)-algebra）と呼びます。ちなみに、集合族上に定義された包含関係\(\subset \)を順序関係とみなした場合、\(\subset \)のもとでの最小元が存在する場合には一意的に定まるため、最小\(\sigma \)-代数もまた一意的に定まります。

集合族が生成するσ-代数

集合\(X\)の\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}には最小\(\sigma \)-代数が存在することが明らかになりました。では、特定の条件\(P\)を満たす\(\sigma \)-代数からなる集合族\begin{equation}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}P\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}にも最小\(\sigma \)-代数が存在することを保証できるのでしょうか。

集合族\(\left( 1\right) \)の共通部分をとれば\(\left( 1\right) \)のすべての要素の部分集合であるような\(\sigma \)-代数が得られるように、集合族\(\left( 2\right) \)の共通部分をとれば\(\left( 2\right) \)のすべての要素の部分集合であるような\(\sigma \)-代数が得られます。ただし、\(\left( 2\right) \)の共通部分は条件\(P\)を満たすとは限らないため、\(\left( 2\right) \)の\(\sigma \)-代数が存在することを保証できません。ただし、条件\(P\)の選び方によっては、\(\left( 2\right) \)の\(\sigma \)-代数が存在することを保証できます。

具体的には、非空な集合族\(\mathfrak{B}\subset 2^{X}\)を選んだ上で、\(\mathfrak{B}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\mathfrak{B}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}を構成します。\(2^{X}\)は\(\sigma \)-代数であるとともにベキ集合の定義より\(\mathfrak{B}\subset 2^{X}\)が成り立つため、\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)は非空であることに注意してください。その上で、共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}をとれば、これは\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の最小\(\sigma \)-代数になることが保証されます。つまり、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda}\)もまた\(\mathfrak{B}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数であるとともに、同じく\(\mathfrak{B}\)を部分集合として持つ任意の\(\sigma \)-代数の部分集合であるということです。このような事情を踏まえた上で、\(\bigcap_{\lambda \in\Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\)を集合族\(\mathfrak{B}\)から生成される\(\sigma \)-代数（minimal \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathfrak{B}\)）と呼び、これを、\begin{equation*}\sigma \left( \mathfrak{B}\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}で表記します。最小\(\sigma \)-代数が一意的に定まることと同様の理由により、集合族から生成される\(\sigma \)-代数もまた一意的に定まります。

集合族が生成する最小σ-代数へ引き継がれる性質

集合\(X\)の非空な部分集合族\(\mathfrak{B}\subset 2^{X}\)が与えられているものとします。また、集合\(X\)の部分集合\(A\in 2^{X}\)を変数とする命題関数\begin{equation*}P:2^{X}\rightarrow \left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この命題関数\(P\)がそれぞれの集合\(A\in 2^{X}\)に対して定める値\(P\left( A\right) \)は\(0\)（偽）または\(1\)（真）であるということです。加えて、この命題関数が以下の4つの性質を満たすものとします。

1つ目の性質は、空集合\(\phi \in 2^{X}\)に対して命題関数\(P\)が定める値が真であるということ、すなわち、\begin{equation*}P\left( \phi \right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の性質は、集合族\(\mathfrak{B}\)に属する任意の集合\(A\)に対して命題関数\(P\)が定める値が真であるということ、すなわち、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{B}:P\left( A\right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。

3つ目の性質は、集合\(A\in 2^{X}\)に対して命題関数\(P\)が定める値が真である場合には、補集合\(A^{c}=X\backslash A\in 2^{X}\)に対して命題関数\(P\)が定める値も真であるということ、すなわち、\begin{equation*}\forall A\in 2^{X}:\left[ P\left( A\right) =1\Rightarrow P\left(
A^{c}\right) =1\right] \end{equation*}が成り立つということです。

4つ目の性質は、可算個の集合\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty}\subset X\)に対して命題関数\(P\)が定める値がいずれも真である場合には、和集合\(\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\subset X\)に対して命題関数\(P\)が定める値も真であるということ、すなわち、\begin{equation*}\forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset X:\left\{ \left[
\forall n\in \mathbb{N} :P\left( A_{n}\right) =1\right] \Rightarrow P\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty
}A_{n}\right) =1\right\}
\end{equation*}が成り立つということです。

命題関数\(P\)が以上の性質を満たす場合、集合族\(\mathfrak{B}\)から生成される\(\sigma \)-代数\(\sigma \left( \mathfrak{B}\right) \)に属する任意の集合\(A\)に対して、命題関数\(P\)が定める値がいずれも真になります。つまり、\begin{equation*}\forall A\in \sigma \left( \mathfrak{B}\right) :P\left( A\right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。

演習問題