集合環の生成（集合半環が生成する最小環）

最小環

集合\(X\)の部分集合族であるような集合環をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{R}_{\lambda }\text{は集合環}\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、それぞれの\(\lambda \in \Lambda \)について\(\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}\)であるとともに、集合環の定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \mathfrak{R}_{\lambda }\not=\phi \\
&&\left( R_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}_{\lambda }:A\cap B\in
\mathfrak{R}_{\lambda } \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}_{\lambda }:A\triangle
B\in \mathfrak{R}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。

集合\(X\)のベキ集合\(2^{X}\)は集合環であるため、先に定義した集合族\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は非空であることに注意してください。そこで、この集合族の共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }
\end{equation*}をとります。それぞれの\(\lambda \in \Lambda \)について\(\mathfrak{R}_{\lambda }\)は\(X\)の部分集合族であるため、\(\bigcap_{\lambda\in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)もまた\(X\)の部分集合族であることに注意してください。つまり、\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}
\end{equation*}です。しかも、\(\bigcap_{\lambda\in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)もまた\(X\)の集合環になります。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda
}\not=\phi \\
&&\left( R_{2}\right) \ \forall A,B\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }:A\cap B\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda } \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall A,B\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }:A\triangle B\in \bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。以上の事実は、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)もまた集合族\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であることを意味します。加えて、共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\subset \mathfrak{R}_{\lambda ^{\prime }}
\end{equation*}が成り立つため、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)は集合族\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)のすべての要素の部分集合です。

結論を整理すると、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)は\(X\)のすべての集合環の部分集合であるような\(X\)の集合環です。このような事情を踏まえた上で、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)を\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の最小環（minimum ring）と呼びます。ちなみに、集合族上に定義された包含関係\(\subset \)を順序関係とみなした場合、\(\subset \)のもとでの最小元が存在する場合には一意的に定まるため、最小環もまた一意的に定まります。

集合族が生成する最小環

集合\(X\)の集合環をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{R}_{\lambda }\text{は集合環}\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}には最小環が存在することが明らかになりました。では、特定の条件\(P\)を満たす集合環からなる集合族\begin{equation}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{R}_{\lambda }\text{は}P\text{を満たす集合環}\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}にも最小環が存在することを保証できるのでしょうか。

集合族\(\left( 1\right) \)の共通部分をとれば\(\left( 1\right) \)のすべての要素の部分集合であるような集合環が得られるように、集合族\(\left( 2\right) \)の共通部分をとれば\(\left( 2\right) \)のすべての要素の部分集合であるような集合環が得られます。ただし、\(\left( 2\right) \)の共通部分は条件\(P\)を満たすとは限らないため、\(\left( 2\right) \)の最小環が存在することを保証できません。ただし、条件\(P\)の選び方によっては、\(\left( 2\right) \)の最小環が存在することを保証できます。

具体的には、非空な集合族\(\mathfrak{A}\subset 2^{X}\)を選んだ上で、\(\mathfrak{A}\)を部分集合として持つ集合環をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{R}_{\lambda }\text{は}\mathfrak{A}\subset \mathfrak{R}_{\lambda }\text{を満たす集合環}\right\}
\end{equation*}を構成します。\(2^{X}\)は集合環であるとともにベキ集合の定義より\(\mathfrak{A}\subset 2^{X}\)が成り立つため、\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)は非空であることに注意してください。その上で、共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }
\end{equation*}をとれば、これは\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の最小環になることが保証されます。つまり、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)もまた\(\mathfrak{A}\)を部分集合として持つ集合環であるとともに、同じく\(\mathfrak{A}\)を部分集合として持つ任意の集合環の部分集合であるということです。このような事情を踏まえた上で、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)を集合族\(\mathfrak{A}\)から生成される最小環（minimal ring generated by \(\mathfrak{A}\)）と呼び、これを、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{A}\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }
\end{equation*}で表記します。最小環が一意的に定まることと同様の理由により、集合族から生成される最小環もまた一意的に定まります。

集合半環が生成する最小環

非空の集合族\(\mathfrak{A}\subset 2^{X}\)が与えられたとき、以下の集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{R}_{\lambda }\text{は}\mathfrak{A}\subset \mathfrak{R}_{\lambda }\text{を満たす集合環}\right\}
\end{equation*}を構成した上で、その共通部分をとれば\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の最小環\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{A}\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }
\end{equation*}が得られることが明らかになりました。ただし、集合族\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分を特定する作業は煩雑になりがちであるため、最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{A}\right) \)を具体的に特定することは必ずしも容易ではありません。ただし、集合族\(\mathfrak{A}\)の選び方によっては最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{A}\right) \)を容易に特定できます。

集合族\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)が集合半環であるものとします。つまり、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \phi \in \mathfrak{S} \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S}:A\cap B\in \mathfrak{S}
\\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S},\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}:A\backslash
B=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。\(\left( S_{1}\right) \)より\(\mathfrak{S}\)は非空の集合族であるため、以下の集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{R}_{\lambda }\text{は}\mathfrak{S}\subset \mathfrak{R}_{\lambda }\text{を満たす集合環}\right\}
\end{equation*}を構成した上で、その共通部分をとれば\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の最小環\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }
\end{equation*}が得られます。ただし、この共通部分の特定は容易ではありません。この問題は以下のように解決可能です。

集合半環\(\mathfrak{S}\)から互いに素な有限個の集合\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\)を任意に選んだ上で、それらの和集合\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を構成します。このような和集合を基本集合（elementary set）と呼びます。その上で、すべての基本集合からなる集合族\begin{equation*}
\left\{ \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\ |\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\right\}
\end{equation*}を構成すれば、これは最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) =\left\{ \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\ |\
\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\right\}
\end{equation*}が成り立つということです。

演習問題