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測度空間

零集合(完備な可測集合族)

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零集合

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとします。つまり、可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)の測度がゼロである場合には、すなわち、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を零集合(null set)と呼びます。

例(空集合は零集合)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、可測集合族\(\mathfrak{M}\)は、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{M}
\end{equation*}を満たすとともに、測度の公理より、\begin{equation*}
\mu \left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は、空集合が零集合であることを意味します。

例(数直線上のルベーグ測度空間上の零集合)
数直線\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{\mathbb{R} }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなるルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\left\{ x\right\} \in \mathfrak{M}\)であるとともに、\begin{equation*}\mu \left( \left\{ x\right\} \right) =0
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、1点集合\(\left\{ x\right\} \)が零集合であることを意味します。
例(ユークリッド空間上のルベーグ測度空間上の零集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{\mathbb{R} ^{n}}\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなるルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \in \mathfrak{M}\)であるとともに、\begin{equation*}\mu \left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\} \right) =0
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、1点集合\(\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \)が零集合であることを意味します。
例(ディラック測度のもとでの零集合)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M}\right) \)が与えられているものとします。点\(x\in X\)を選んで固定した上で、それぞれの\(A\in \mathfrak{M}\)に対して、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in A\right) \\
0 & \left( if\ x\not\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間になります。可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}A\text{は零集合} &\Leftrightarrow &\mu \left(
A\right) =0\quad \because \text{零集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\not\in A\quad \because \mu \text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\text{は零集合}\Leftrightarrow x\not\in A
\end{equation*}が成り立ちます。

 

零集合の部分集合であるような可測集合は零集合

零集合の部分集合であるような任意の可測集合は零集合であることが保証されます。つまり、可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)が、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}を満たす場合、\(B\subset A\)を満たす任意の可測集合\(B\in \mathfrak{M}\)についても、\begin{equation*}\mu \left( B\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(零集合の部分集合であるような可測集合は零集合)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\left\{ \left[ \mu \left( A\right) =0\wedge
B\subset A\right] \Rightarrow \mu \left( B\right) =0\right\}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(空集合は零集合)
空集合が零集合であることを先に示しましたが、同じことを先の命題を用いて示します。測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}を満たす可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)を任意に選びます。つまり、\(A\)は零集合であるということです。空集合は任意の集合の部分集合であるとともに空集合は可測であるため、\begin{equation*}\phi \subset A\wedge \phi \in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立ちます。すると先の命題より、\begin{equation*}
\mu \left( \phi \right) =0
\end{equation*}を得るため、空集合が零集合であることが明らかになりました。

 

零集合どうしの和集合は零集合

可算個の可測集合\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)がいずれも零集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\mu \left( A_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。可測集合族\(\mathfrak{M}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{equation*}であり、したがって測度\(P\)はこの和集合の測度\(P\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \)を定めますが、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、可算個の零集合どうしの和集合もまた零集合になるということです。

命題(可算個の零集合の和集合は零集合)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、可算個の可測集合\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)の要素がいずれも零集合であるならば、和集合\(\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\)もまた零集合である。
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有限個の零集合どうしの和集合もまた零集合になります。

命題(有限個の零集合の和集合は零集合)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、有限個の可測集合\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{M}\)の要素がいずれも零集合であるならば、和集合\(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\)もまた零集合である。
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例(数直線上のルベーグ測度空間上の零集合)
数直線\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{\mathbb{R} }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなるルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、1点集合\(\left\{ x\right\} \in \mathfrak{M}\)は零集合です。先の命題より、有限個の零集合の和集合は零集合であるため、有限個の点\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有限集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\}
\end{equation*}は零集合です。やはり先の命題より、可算個の零集合の和集合は零集合であるため、有限個の点\(x_{1},x_{2},\cdots\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、可算集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}は零集合です。

例(ユークリッド空間上のルベーグ測度空間上の零集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{\mathbb{R} ^{n}}\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなるルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、1点集合\(\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \in \mathfrak{M}\)は零集合です。先の命題より、有限個の零集合の和集合は零集合であるため、有限個の点\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有限集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\right\}
\end{equation*}は零集合です。やはり先の命題より、可算個の零集合の和集合は零集合であるため、有限個の点\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、可算集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}は零集合です。

 

零集合との和集合

可測集合と零集合の和集合をとったとき、測度は変化しません。つまり、可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)と零集合\(B\in \mathfrak{M}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) =\mu \left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(零集合との和集合)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\left[ \mu \left( B\right) =0\Rightarrow \mu
\left( A\cup B\right) =\mu \left( A\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

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零集合との差集合

可測集合と零集合の差集合をとったとき、測度は変化しません。つまり、可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)と零集合\(B\in \mathfrak{M}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\mu \left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(零集合との差集合)
測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{M}:\left[ \mu \left( B\right) =0\Rightarrow \mu
\left( A\backslash B\right) =\mu \left( A\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

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完備な可測集合族

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、零集合\(A\in \mathfrak{M}\)を任意に選んだとき、\(A\)の任意の部分集合もまた可測になることが保証される場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{M},\ \forall B\in 2^{X}:\left\{ \left[ \mu \left(
A\right) =0\wedge B\subset A\right] \Rightarrow B\in \mathfrak{M}\right\}
\end{equation*}が成り立つ場合には、可測集合族\(\mathfrak{M}\)は完備(complete)であると言います。

例(数直線上のルベーグ可測集合族は完備)
数直線\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{\mathbb{R} }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなるルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\)は完備です。つまり、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{M},\ \forall B\in 2^{\mathbb{R} }:\left\{ \left[ \mu \left( A\right) =0\wedge B\subset A\right] \Rightarrow
B\in \mathfrak{M}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(ユークリッド空間上のルベーグ可測集合族は完備)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{\mathbb{R} ^{n}}\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなるルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\)は完備です。つまり、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{M},\ \forall B\in 2^{\mathbb{R} ^{n}}:\left\{ \left[ \mu \left( A\right) =0\wedge B\subset A\right] \Rightarrow B\in \mathfrak{M}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

外測度から定義される測度空間における零集合

非空集合\(X\)のベキ集合上に定義された外測度\begin{equation*}\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。集合\(X\)の部分集合の中でも\(\mu ^{\ast }\)-可測であるような集合をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation*}\mathfrak{M}=\left\{ A\in 2^{X}\ |\ \forall S\in 2^{X}:\mu ^{\ast }\left(
S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap
A^{c}\right) \right\}
\end{equation*}は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M}\right)
\end{equation*}は可測空間です。さらに、外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を\(\mathfrak{M}\)に制限することにより得られる集合関数を、\begin{equation*}\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\forall A\in \mathfrak{M}:\mu \left( A\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。以上のように定義された\(\mu \)は測度の公理を満たすため、\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間になります。これを外測度\(\mu ^{\ast }\)から定義される測度空間と呼ぶこととします。

外測度がゼロであるような集合の部分集合の外測度はゼロであることが保証されます。つまり、集合\(A\subset X\)が、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}を満たす場合、\(B\subset A\)を満たす任意の集合\(B\subset X\)についても、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( B\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(外測度ゼロの集合の部分集合の外測度)
非空集合\(X\)のベキ集合上に定義された外測度\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)について、\begin{equation*}\forall A,B\in 2^{X}:\left\{ \left[ \mu ^{\ast }\left( A\right) =0\wedge
B\subset A\right] \Rightarrow \mu ^{\ast }\left( B\right) =0\right\}
\end{equation*}が成り立つ。

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外測度がゼロであるような集合は、外測度から定義される測度空間において可測集合になることが保証されます。

命題(外測度ゼロの集合は可測)
非空集合\(X\)のベキ集合上に定義された外測度\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられているものとする。また、\(\mu ^{\ast }\)から定義される測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとする。集合\(A\subset X\)について、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
A\in \mathfrak{M}
\end{equation*}が成り立つ。

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外測度\(\mu ^{\ast }\)から定義される測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとします。集合\(A\subset X\)が零集合であることは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\in \mathfrak{M} \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( A\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。以上の事実は、\(A\)の外測度がゼロであること、すなわち、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。

命題(外測度から定義される測度空間における零集合)
非空集合\(X\)のベキ集合上に定義された外測度\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられているものとする。また、\(\mu ^{\ast }\)から定義される測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとする。集合\(A\subset X\)について、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立つことと、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\in \mathfrak{M} \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( A\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは必要十分である。

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外測度\(\mu ^{\ast }\)から定義される測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとします。その上で、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}を満たす可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)を任意に選びます。つまり、\(A\)は零集合であるということです。\(\mu \)の定義より、このとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。\(B\subset A\)を満たす集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、外測度\(\mu ^{\ast }\)の単調性より、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( B\right) =0
\end{equation*}を得ます。先の命題より、以上の事実は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ B\in \mathfrak{M} \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( B\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。したがって、\(B\)もまた零集合であることが明らかになりました。つまり、外測度から定義される測度空間においては、零集合の任意の部分集合が零集合になるということです。言い換えると、外測度から定義される可測集合族\(\mathfrak{M}\)は完備であるということです。

命題(外測度から定義される可測集合族)
非空集合\(X\)のベキ集合上に定義された外測度\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられているものとする。また、\(\mu ^{\ast }\)から定義される測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとする。\(\mathfrak{M}\)は完備である。すなわち、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{M},\ \forall B\in 2^{X}:\left\{ \left[ \mu \left(
A\right) =0\wedge B\subset A\right] \Rightarrow B\in \mathfrak{M}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。

 

ほとんどいたるところ

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられた状況において可測集合\(A\in \mathfrak{M}\)を選び、以下の命題\begin{equation*}\forall x\in A:P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つかを検討している状況を想定します。つまり、可測集合の要素である任意の点\(x\in A\)について命題\(P\left( x\right) \)が成り立つかを検討しているということです。問題としている可測集合\(A\)の部分集合であるような零集合\(B\)が与えられた状況を想定します。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ B\subset A \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( B\right) =0
\end{eqnarray*}をともに満たす可測集合\(B\in \mathfrak{M}\)に注目します。以上の状況のもと、以下の命題\begin{equation*}\forall x\in A\backslash B:P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、命題\(P\left( x\right) \)は\(A\)上のほとんどいたるところ(almost everywhere)で成り立つと言います。

例(ほとんどいたるところ)
数直線\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{\mathbb{R} }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなるルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の可測集合です。その一方で、\(f\)が定義されていない点からなる集合\(\left\{ 0\right\} \)は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるようなゼロ集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上のほとんどいたるところで定義されています。
例(ほとんどいたるところ)
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)および\(\mathbb{R} ^{2}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{\mathbb{R} ^{2}}\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなるルベーグ測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{2},\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}は測度空間です。関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の可測集合です。その一方で、\(f\)が定義されていない点からなる集合\(\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるようなゼロ集合です。さらに、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のほとんどいたるところで定義されています。

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