外測度から定義される測度空間

公理主義的測度論における測度空間

集合\(X\)とその部分集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)および集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる組\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}が測度空間であることとは、集合族\(\mathfrak{M}\)が可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、集合関数\(\mu \)が測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。

以上が公理主義的測度論における測度空間の定義ですが、以下では測度空間の具体例の1つとして、外測度から測度空間を構成する方法について解説します。

μ*-可測集合（外測度から定義される可測集合)

非空集合\(X\)のベキ集合上に定義された外測度\begin{equation*}\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\mu ^{\ast }\)は以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall A\in 2^{X}:0\leq \mu ^{\ast }\left( A\right)
\leq +\infty \\
&&\left( O_{2}\right) \ \mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0 \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall A,B\in 2^{X}:\left[ A\subset B\Rightarrow
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left( B\right) \right] \\
&&\left( O_{4}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty
}\subset 2^{X}:\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \leq
\sum_{n=1}^{+\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

集合\(A\subset X\)が与えられているものとします。このとき、任意の集合\(S\subset X\)に対して以下の条件\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mu ^{\ast }\)-可測集合（\(\mu ^{\ast }\)-measurable set）と呼びます。集合\(A\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であるためには、それに対して先の条件を満たす集合\(S\)が存在することを示しただけでは不十分であり、任意の集合\(S\)が先の条件を満たすことを示す必要があります。集合の\(\mu ^{\ast }\)-可測性を特徴づける先の条件をカラテオドリの条件（Carathéodory’s criterion）と呼びます。

集合\(A\subset X\)が与えられているものとします。別の集合\(S\subset X\)を持ってきたとき、これは\(A\)を用いて2つの部分に分割可能です。1つ目は\(A\)と交わる部分\(S\cap A\)であり、2つ目は\(A\)と交わらない部分\(S\cap A^{c}\)です。その上で、\(S\)の外測度\(\mu^{\ast }\left( S\right) \)と、\(S\)を先のように分割して得られる2つの部分の外測度の和\(\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right) \)をそれぞれ導出したとき、直感的には両者は一致するはずです。集合\(A\)が可測であることとは、これを用いてどのような集合を2つに分割した場合でも、先の直感的事実が成り立つことを意味します。

カラテオドリの条件についてもう少し考察します。外測度\(\mu ^{\ast }\)は劣加法性を満たす一方で加法性を満たすとは限らないため、以下の条件\begin{equation}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) <\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす互いに素な集合\(A,B\)が存在する状況が起こり得ます。集合\(A\cup B\)を2つの集合\(A,B\)に分割した場合、\(A\)と\(B\)の外測度の和が\(A\cup B\)の外測度を上回ってしまうということです。これは\(X\)上の任意の集合を外延量の計測対象とした場合に発生する問題です。では、\(\mu ^{\ast }\)-可測集合、すなわちカラテオドリの条件を満たす集合のみを外測度の計測対象とした場合にはどうなるでしょうか。\(A\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測集合であり、\(B\)は\(A\)と互いに素であるものとします。このとき、\(\mu ^{\ast }\)-可測集合の定義より、集合\(A\cup B\)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( \left( A\cup B\right)
\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( \left( A\cup B\right) \cap A^{c}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)が成り立つような状況の回避に成功しています。

集合\(X\)の部分集合の中でも\(\mu ^{\ast }\)-可測であるような集合をすべて集めることにより得られる集合族を\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族（system of \(\mu^{\ast }\)-measurable sets）や可測集合族（system of measurable sets）などと呼び、\begin{equation*}\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}=\left\{ A\in 2^{X}\ |\ A\text{は}\mu
^{\ast }\text{-可測}\right\}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の集合\(A\subset X\)に対して以下の関係\begin{equation*}A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\Leftrightarrow \forall S\in 2^{X}:\mu
^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mu ^{\ast }\)は外測度です。

カラテオドリの条件の言い換え

カラテオドリの条件、すなわち\(\mu ^{\ast }\)-可測集合の定義は様々な形に言い換え可能です。

集合\(A\subset X\)が与えられているものとします。このとき、\(A\)の任意の部分集合\(B\)と\(A^{c}\)の任意の部分集合\(B^{\prime }\)に対して以下の条件\begin{equation}\mu ^{\ast }\left( B\cup B^{\prime }\right) =\mu ^{\ast }\left( B\right)
+\mu ^{\ast }\left( B^{\prime }\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは、\(A\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であるための必要十分条件です。

集合\(A\subset X\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることとは、任意の集合\(S\subset X\)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、この定義に登場する集合の間には以下の関係\begin{equation}
S=\left( S\cap A\right) \cup \left( S\cap A^{c}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、このとき、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) &=&\mu ^{\ast }\left( \left( S\cap A\right)
\cup \left( S\cap A^{c}\right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap
A^{c}\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の劣加法性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) \leq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。したがって任意の集合\(S\subset X\)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示しさえすれば、\(A\)が\(\mu^{\ast }\)-可測であることを示したことになります。

先の命題中の集合\(S\)について、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、命題中の不等式は必ず成立します。このような事情を踏まえると、集合\(A\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることを判定する際には、集合\(S\)として有限な外測度を持つものだけを考察対象としても一般性は失われないことが明らかになりました。したがって以下の命題を得ます。

補集合を用いたμ*-可測集合の定義

ある集合\(A\subset X\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることと、その補集合\(A^{c}\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることは必要十分です。

μ*-可測集合族は非空

\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)はどのような性質を満たす集合族でしょうか。

\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)が満たす1つ目の性質は、\begin{equation*}\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\not=\phi
\end{equation*}です。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)は非空集合です。

μ*-可測集合族は補集合について閉じている

\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)が満たす2つ目の性質は、\(\mu ^{\ast }\)-可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A^{c}=X\backslash A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は補集合について閉じています。\(\mu ^{\ast }\)-可測集合の補集合は\(\mu ^{\ast }\)-可測であるということです。

μ*-可測集合族は和集合について閉じている

\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)は和集合について閉じています。つまり、2つの\(\mu ^{\ast }\)-可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つということです。\(\mu ^{\ast }\)-可測集合どうしの和集合も\(\mu^{\ast }\)-可測であるということです。

有限個の\(\mu ^{\ast }\)-可測集合\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、先の命題を繰り返し適用することにより、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}を得ます。つまり、有限個の\(\mu ^{\ast }\)-可測集合の和集合もまた\(\mu ^{\ast }\)-可測であるということです。この性質を指して、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は有限合併について閉じていると言います。

\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)は可算合併についても閉じています。つまり、可算個の\(\mu ^{\ast }\)-可測集合\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。可算個の\(\mu ^{\ast }\)-可測集合どうしの和集合も\(\mu ^{\ast }\)-可測であるということです。

外測度から定義される可測空間

集合\(X\)上の\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可測空間の公理に相当する諸命題\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\not=\phi \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}:A^{c}\in
\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }} \\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in
\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{eqnarray*}を満たすことが明らかになりました。以上の事実は、\begin{equation*}
\left( X,\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\right)
\end{equation*}が可測空間であることを意味します。

測度

非空集合\(X\)上の外測度\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)の定義域を\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)に縮小することにより写像を測度（measure）と呼び、これを、\begin{equation*}\mu :\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。また、測度\(\mu \)がそれぞれの\(\mu ^{\ast }\)-可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して定める外延量\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)の測度（measure）と呼びます。定義より、それぞれの\(\mu ^{\ast }\)-可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して以下の関係\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}が成立します。つまり、\(\mu ^{\ast }\)-可測集合の測度と外測度は一致します。外測度\(\mu ^{\ast }\)ではなく測度\(\mu \)について議論している場合、その定義域である\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を、\begin{equation*}\mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}と表記できます。その上で、\(\mathfrak{M}_{\mu }\)を可測集合族（family of measurable sets）と呼び、\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の要素である集合を可測集合（measurable set）と呼びます。ただし、\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)と\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は等しい\(X\)の部分集合族です。

測度の非負性

外測度\(\mu ^{\ast }\)は非負の実数もしくは正の無限大を値としてとりますが、測度\(\mu \)は外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に縮小したものであるため、\(\mu \)もまた非負の実数もしくは正の無限大を値としてとります。つまり、測度\(\mu \)もまた非負性（non-negativity）を満たすということです。

空集合の測度

外測度\(\mu ^{\ast }\)が空集合\(\phi \)に対して定める外測度は\(0\)です。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であることから空集合を要素として持つため、測度\(\mu \)は空集合に対して定めます。加えて、測度\(\mu \)は外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に縮小したものであるため、\(\mu \)が空集合に対して定める測度もまた\(0\)です。

測度のσ-加法性

外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法性を満たすとは限らない一方で、外測度\(\mu^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に制限することにより得られる測度\(\mu \)は\(\sigma \)-加法性を満たします。具体的には以下の通りです。

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の互いに素な可測集合\(\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty }\)を任意に選びます。可測集合族は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ち、したがって測度\(\mu \)は和集合の測度\(\mu \left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \)を定めますが、これに関しては以下の関係\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum\limits_{n=1}^{+\infty
}\mu \left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、右辺は可算個の集合の測度から構成される無限級数の和であり、具体的には、部分和\begin{equation*}
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\mu \left( A_{n}\right)
\end{equation*}を項とする拡大実数列\(\left\{ S_{N}\right\} _{N=1}^{+\infty }\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、先の関係を正確に表現すると、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\lim_{N\rightarrow +\infty
}\sum\limits_{n=1}^{N}\mu \left( A_{n}\right)
\end{equation*}となります。

外測度から定義される測度空間

集合\(X\)上の可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可測空間の公理に相当する諸命題\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \mathfrak{M}_{\mu }\not=\phi \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:A^{c}\in \mathfrak{M}_{\mu } \\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}_{\mu }:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{eqnarray*}を満たすとともに、外測度\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に制限することにより得られる測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理に相当する諸命題\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}_{\mu
}:\mu \left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu
\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすことが明らかになりました。以上の事実は、これらの組\begin{equation*}
\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}が測度空間であることを意味します。