外測度の定義と具体例

外測度

非空の集合\(X\)のベキ集合\(2^{X}\)上に定義された集合関数\begin{equation*}\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(\overline{\mathbb{R} }\)は拡大実数系であり、\begin{equation*}\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}
\end{equation*}です。つまり、集合関数\(\mu ^{\ast }\)は\(X\)のそれぞれの部分集合\(A\in 2^{X}\)に対して拡大実数\(\mu ^{\ast }\left( A\right)\in \overline{\mathbb{R} }\)を1つずつ定めるということです。

集合関数\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の4つの条件を満たす場合には、\(\mu ^{\ast }\)を\(X\)上の外測度（outer measure on \(X\)）と呼びます。また、外測度\(\mu ^{\ast }\)が集合\(A\in 2^{X}\)に対して定める値\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を\(A\)の外測度（outer measure of \(A\)）と呼びます。

1つ目の条件は、\(\mu ^{\ast }\)がとり得る値は有限な実数または正の無限大であること、すなわち、\begin{equation*}\forall A\in 2^{X}:0\leq \mu ^{\ast }\left( A\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。以上のような\(\mu ^{\ast }\)の性質を非負性（non-negativity）と呼びます。

空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \in 2^{X}\)であり、したがって外測度\(\mu ^{\ast }\)は空集合の外測度\(\mu ^{\ast }\left(\phi \right) \)を定めますが、その値が\(0\)であること、すなわち、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つことが、外測度\(\mu ^{\ast }\)が満たすべき2つ目の条件です。

非空集合\(X\)の部分集合\(A,B\in 2^{X}\)について\(A\)が\(B\)の部分集合であるならば、\(A\)の外測度は\(B\)の外測度以下になること、すなわち、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow \mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left(
B\right)
\end{equation*}が成り立つことが、外測度\(\mu ^{\ast }\)が満たすべき3つ目の条件です。以上のような\(\mu ^{\ast }\)の性質を単調性（monotonicity）と呼びます。

非空集合\(X\)の中から可算個の部分集合\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset 2^{X}\)を任意に選んだとき、その和集合もまた\(X\)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in 2^{X}
\end{equation*}が成り立つため、外測度\(\mu ^{\ast }\)は和集合の外測度\(\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty}A_{n}\right) \)を定めます。一方、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)に属するそれぞれの集合\(A_{n}\)の外測度\(\mu ^{\ast }\left( A_{n}\right) \)を定めますが、これらの外測度の間に以下の関係\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \leq
\sum_{n=1}^{+\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、外測度\(\mu ^{\ast }\)が満たすべき4つ目の条件です。ただし、右辺は拡大実数列\(\left\{ \mu ^{\ast }\left( A_{n}\right)\right\} _{n=1}^{+\infty }\)の項の無限級数の和であり、具体的には、部分和\begin{equation*}S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\mu ^{\ast }\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を項とする拡大実数列\(\left\{ S_{N}\right\} _{N=1}^{+\infty }\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、先の関係を正確に表現すると、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \leq
\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }\sum_{n=1}^{N}\mu ^{\ast }\left(
A_{n}\right)
\end{equation*}となります。以上のような\(\mu ^{\ast }\)の性質を\(\sigma \)-劣加法性（\(\sigma \)-subuadditivity）や可算劣加法性（countable subadditivity）などと呼びます。

改めて整理すると、非空集合\(X\)のベキ集合上に定義された集合関数\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が外測度であることとは、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall A\in 2^{X}:0\leq \mu ^{\ast }\left( A\right)
\leq +\infty \\
&&\left( O_{2}\right) \ \mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0 \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall A,B\in 2^{X}:\left[ A\subset B\Rightarrow
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left( B\right) \right] \\
&&\left( O_{4}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty
}\subset 2^{X}:\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \leq
\sum_{n=1}^{+\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。また、\(\left( O_{1}\right) \)を踏まえた上で、以降では外測度を、\begin{equation*}\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}と表記します。

外測度の有限劣加法性

非空集合\(X\)の中から有限個の部分集合\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset 2^{X}\)を任意に選んだとき、その和集合もまた\(X\)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\in 2^{X}
\end{equation*}が成り立つため、外測度\(\mu ^{\ast }\)は和集合の外測度\(\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right) \)を定めます。一方、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{n}\)に属するそれぞれの集合\(A_{k}\)の外測度\(\mu ^{\ast}\left( A_{k}\right) \)を定めますが、これらの外測度の間に以下の関係\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{n}\mu
^{\ast }\left( A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上のような\(\mu ^{\ast }\)の性質を有限劣加法性（finite subuadditivity）と呼びます。

非空集合\(X\)の2つの部分集合\(A,B\in 2^{X}\)を任意に選んだとき、その和集合もまた\(X\)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}A\cup B\in 2^{X}
\end{equation*}が成り立つため、外測度\(\mu ^{\ast }\)は和集合の外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) \)を定めます。一方、外測度\(\mu ^{\ast }\)は個々の集合\(A,B\)の外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) ,\mu ^{\ast}\left( B\right) \)を定めますが、これらの外測度の間に以下の関係\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) \leq \mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu
^{\ast }\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上のような\(\mu ^{\ast }\)の性質を劣加法性（subuadditivity）と呼びます。

零集合

集合\(A\in 2^{X}\)の外測度が\(0\)である場合には、すなわち、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を零集合（null set）と呼びます。

零集合の部分集合は零集合です。

外測度はσ-加法性を満たすとは限らない

非空集合\(X\)上の外測度\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)は以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall A\in 2^{X}:0\leq \mu ^{\ast }\left( A\right)
\leq +\infty \\
&&\left( O_{2}\right) \ \mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0 \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall A,B\in 2^{X}:\left[ A\subset B\Rightarrow
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left( B\right) \right] \\
&&\left( O_{4}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty
}\subset 2^{X}:\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \leq
\sum_{n=1}^{+\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たす集合関数として定義されますが、この中に\(\sigma \)-加法性が含まれないことは特筆すべきです。ただし、\(\sigma \)-加法性は、\begin{equation*}\forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\}
_{n=1}^{+\infty }\subset 2^{X}:\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty
}A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{n}\right)
\end{equation*}と定義されます。つまり、「ある集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という性質です。

外測度は\(\sigma \)-加法性を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

その一方で、\(\sigma \)-加法性を満たす外測度も存在します。以下の例より明らかです。

演習問題