集合環の定義と具体例

集合環の定義

集合\(X\)およびその部分集合族\(\mathfrak{R}\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\mathfrak{R}\subset 2^{X}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(2^{X}\)は\(X\)のベキ集合を表す記号です。集合族\(\mathfrak{R}\)が以下の3つの条件を満たす場合には、\(\mathfrak{R}\)を\(X\)の集合環（ring of sets of \(X\)）と呼びます。

1つ目の条件は、\(\mathfrak{R}\)が非空であること、すなわち、\begin{equation*}\mathfrak{R}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、\(\mathfrak{R}\)が共通部分について閉じているということ、すなわち、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{R}:A\cap B\in \mathfrak{R}
\end{equation*}が成り立つということです。

3つ目の条件は、\(\mathfrak{R}\)が対称差について閉じているということ、すなわち、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{R}:A\triangle B\in \mathfrak{R}
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、対称差は和集合\(\cup \)と差集合\(\backslash \)を用いて、\begin{equation*}A\triangle B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}と定義されます。

改めて整理すると、集合族\(\mathfrak{R}\subset 2^{X}\)が集合環であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \mathfrak{R}\not=\phi \\
&&\left( R_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}:A\cap B\in \mathfrak{R}
\\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}:A\triangle B\in
\mathfrak{R}
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。

集合環は空集合を要素として持つ

集合環\(\mathfrak{R}\)は空集合を要素として持ちます。つまり、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{R}
\end{equation*}が成り立ちます。

集合環は有限交叉について閉じている

集合環\(\mathfrak{R}\)に属する有限個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{R}\)を任意に選んだとき、\(\mathfrak{R}\)が共通部分について閉じているという事実を繰り返し適用することにより、\begin{equation*}\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{R}
\end{equation*}が導かれます。つまり、集合環に属する有限個の集合の共通部分もまた集合環の要素になるということです。以上の性質を指して、\(\mathfrak{R}\)は有限交叉について閉じている（closed with respect to finite intersection）と言います。

集合環は有限合併について閉じている

集合環\(\mathfrak{R}\)は和集合について閉じています。つまり、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{R}:A\cup B\in \mathfrak{R}
\end{equation*}が成り立つということです。

集合環\(\mathfrak{R}\)に属する有限個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{R}\)を任意に選んだとき、\(\mathfrak{R}\)が和集合について閉じているという事実を繰り返し適用することにより、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{R}
\end{equation*}が導かれます。つまり、集合環に属する有限個の集合の和集合もまた集合環の要素になるということです。以上の性質を指して、\(\mathfrak{R}\)は有限合併について閉じている（closed with respect to finite union）と言います。

集合環は差集合について閉じている

集合環\(\mathfrak{R}\)は差集合について閉じています。つまり、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{R}:A\backslash B\in \mathfrak{R}
\end{equation*}が成り立つということです。

集合環の代替的な定義

集合環\(\mathfrak{R}\)は空集合を要素として持つとともに、和集合と差集合について閉じていることが明らかになりました。逆の主張も成り立つため、集合環を以下のように定義することもできます。

集合環を以下のように定義することもできます。

環としての集合環

非空の集合\(X\)上に2つの演算\begin{eqnarray*}+ &:&X\times X\rightarrow X \\
\cdot &:&X\times X\rightarrow X
\end{eqnarray*}が定義されているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
\forall x,y &\in &X:x+y\in X \\
\forall x,y &\in &X:x\cdot y\in X
\end{eqnarray*}が成り立つということです。加えて、これらの演算が以下の性質\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \forall x,y,z\in X:\left( x+y\right) +z=x+\left(
y+z\right) \\
&&\left( B\right) \ \exists 0\in X,\ \forall x\in X:x+0=x \\
&&\left( C\right) \ \forall x\in X,\ \exists -x\in X:x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( D\right) \ \forall x,y\in X:x+y=y+x \\
&&\left( E\right) \ \ \forall x,y,z\in X:\left( x\cdot y\right) \cdot
z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( F\right) \ \forall x,y,z\in X:x\cdot \left( y+z\right) =x\cdot
y+x\cdot z \\
&&\left( G\right) \ \forall x,y,z\in X:\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot
z+y\cdot z
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(X\)は加法\(+\)と乗法\(\cdot \)に関して環（ring）であると言い、そのことを、\begin{equation*}\left( X,+,\cdot \right)
\end{equation*}で表記します。

条件\(\left( A\right) \)は加法に関する結合律です。条件\(\left( B\right) \)は、\(X\)の任意の要素\(x\)に足しても\(x\)のままであるような\(X\)の要素\(0\)の存在を保証しています。\(0\)を加法単位元と呼びます。条件\(\left( C\right) \)は、\(X\)のそれぞれの\(x\)に対して、それに足すと結果が加法単位元\(0\)になるような\(X\)の要素\(-x\)の存在を保証しています。\(-x\)を\(x\)の加法逆元と呼びます。\(\left( D\right) \)は加法に関する交換律です。\(\left( E\right) \)は乗法に関する結合律です。\(\left( F\right) \)と\(\left( G\right) \)は加法と乗法の関係を規定する分配律です。

集合環に話を戻します。集合環\(\mathfrak{R}\subset 2^{X}\)は非空であるとともに、対称差\(\triangle \)と共通部分\(\cap \)について閉じているため、すなわち、\begin{eqnarray*}\forall A,B &\in &\mathfrak{R}:A\triangle B\in \mathfrak{R} \\
\forall A,B &\in &\mathfrak{R}:A\cap B\in \mathfrak{R}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\mathfrak{R}\)が\(\triangle \)と\(\cap \)に関して環であるか検討できます。実際、集合環\(\mathfrak{R}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つため、対称差\(\triangle \)に関する単位元として\(\phi \)を採用し、また、集合\(A\in \mathfrak{R}\)の対称差\(\triangle \)に関する逆元として\(A\)自身を採用すれば、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \forall A,B,C\in \mathfrak{R}:\left( A\triangle B\right)
\triangle C=A\triangle \left( B\triangle C\right) \\
&&\left( B\right) \ \exists \phi \in \mathfrak{R},\ \forall A\in \mathfrak{R}:A\triangle \phi =A \\
&&\left( C\right) \ \forall A\in \mathfrak{R},\ \exists A\in \mathfrak{R}:A\triangle A=\phi \\
&&\left( D\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}:A\triangle B=B\triangle A \\
&&\left( E\right) \ \ \forall A,B,C\in \mathfrak{R}:\left( A\cap B\right)
\cap C=A\cap \left( B\cap C\right) \\
&&\left( F\right) \ \forall A,B,C\in \mathfrak{R}:A\cap \left( B\triangle
C\right) =\left( A\cap B\right) \triangle \left( A\cap C\right) \\
&&\left( G\right) \ \forall A,B,C\in \mathfrak{R}:\left( A\triangle B\right)
\cap C=\left( A\cap C\right) \triangle \left( B\cap C\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが示されます。したがって、\begin{equation*}
\left( \mathfrak{R},\triangle ,\cap \right)
\end{equation*}は環であることが明らかになりました。集合環という名称の由来は以上の通りです。

集合環は集合半環

集合族\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)が集合半環であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \phi \in \mathfrak{S} \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S}:A\cap B\in \mathfrak{S}
\\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S},\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}:A\backslash
B=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。

集合環は集合半環でもあります。

集合半環は集合環であるとは限らない

集合環は集合半環であることが明らかになりましたが、逆は成り立つとは限りません。集合半環は集合環であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

集合半環が集合環であるための条件

集合半環は集合環であるとは限らないことが明らかになりました。ただし、集合半環が和集合についても閉じている場合、その集合半環は集合環になることが保証されます。

演習問題