集合半環の定義と具体例

集合半環の定義

集合\(X\)およびその部分集合族\(\mathfrak{S}\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\mathfrak{S}\subset 2^{X}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(2^{X}\)は\(X\)のベキ集合を表す記号です。集合族\(\mathfrak{S}\)が以下の3つの条件を満たす場合には、\(\mathfrak{S}\)を\(X\)の集合半環（semiring of sets of \(X\)）と呼びます。

1つ目の条件は、\(\mathfrak{S}\)が空集合を持つということ、すなわち、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{S}
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、\(\mathfrak{S}\)が共通部分について閉じているということ、すなわち、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{S}:A\cap B\in \mathfrak{S}
\end{equation*}が成り立つということです。

3つ目の条件は、\(\mathfrak{S}\)に属する2つの集合の差集合が、やはり\(\mathfrak{S}\)に属する有限個の互いに素な集合の和集合として表すことができるということです。つまり、2つの集合\(A,B\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、それに対して互いに素な有限個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{S}\)が存在して、\begin{equation*}A\backslash B=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}と表せるということです。ちなみに、このような和集合\(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\)を\(\mathfrak{S}\)の要素の有限非交和（finite disjoint union）や有限展開（finite expansion）などと呼びます。なお、集合族\(\mathfrak{S}\)は差集合\(\backslash \)や和集合\(\cup \)について閉じているものとは定められていないため、差集合\(A\backslash B\)やそれと一致する有限展開\(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\)は\(\mathfrak{S}\)の要素になるとは限りません。また、差集合\(A\backslash B\)が与えられたとき、その有限展開は一意的に定まるとは限りません。さらに、\begin{equation*}\phi =\phi
\end{equation*}であるため、空集合\(\phi \)もまた互いに素な1つの集合\(\phi \)の有限非交和として表現可能です。

改めて整理すると、集合族\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)が集合半環であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \phi \in \mathfrak{S} \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S}:A\cap B\in \mathfrak{S}
\\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S},\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}:A\backslash
B=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。

集合半環は有限交叉について閉じている

集合半環\(\mathfrak{S}\)に属する有限個の要素\(A_{1},\cdots,A_{n}\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、\(\mathfrak{S}\)は共通部分について閉じているという事実を繰り返し適用することにより、\begin{equation*}\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{S}
\end{equation*}が導かれます。つまり、集合半環に属する有限個の集合の共通部分もまた集合半環の要素になるということです。以上の性質を指して、\(\mathfrak{S}\)は有限交叉について閉じている（closed with respect to finite intersection）と言います。逆に、\(\mathfrak{S}\)が有限交叉について閉じている場合、\(\mathfrak{S}\)は明らかに2つの集合の交叉についても閉じています。つまり、\(\mathfrak{S}\)は共通部分について閉じているということです。したがって以下の命題を得ます。

以上の命題を踏まえると、集合族\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)が集合半環であることを、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \phi \in \mathfrak{S} \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{S}:\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\in
\mathfrak{S} \\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S},\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}:A\backslash
B=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義することもできます。

集合半環の要素は有限展開が可能

集合半環の要素\(A\in \mathfrak{S}\)を任意に選びます。集合半環の定義より\(\phi \in \mathfrak{S}\)であるとともに、差集合の定義より、\begin{equation}A\backslash \phi =A \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。その一方で、集合半環の定義より、差集合\(A\backslash \phi \)は有限展開可能であるため、互いに素な有限個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{S}\)を用いて、\begin{equation}A\backslash \phi =\bigcup_{k=1}^{n}A_{k} \quad \cdots (2)
\end{equation}と表現できます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}A=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を得るため、\(A\)もまた有限展開可能であることが明らかになりました。

集合半環の要素は自身の部分集合を含む形で有限展開が可能

集合半環の要素\(A,A_{1}\in \mathfrak{S}\)を任意に選びます。これらの間に包含関係\begin{equation*}A_{1}\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合、集合半環の定義より、有限個の互いに素な集合\(A_{2},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{S}\)が存在して、\begin{equation*}A\backslash A_{1}=\bigcup_{k=2}^{n}A_{k}
\end{equation*}と表すことができます。\(A_{1}\)は\(A_{2},\cdots ,A_{n}\)のいずれとも互いに素であるため、このとき、\begin{equation*}A=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の部分集合\(A_{1}\)を任意に選んだ場合、\(A\)は\(A_{1}\)を含む有限個の集合の非交和として表現できるということです。

逆の主張も成り立つため、集合半環を以下のように定義することもできます。

演習問題