σ-代数（完全加法族）の定義と具体例

σ-代数

集合\(X\)およびその部分集合族\(\mathfrak{R}\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\mathfrak{A}\subset 2^{X}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(2^{X}\)は\(X\)のベキ集合を表す記号です。集合族\(\mathfrak{A}\)が以下の3つの条件を満たす場合には、\(\mathfrak{A}\)を\(X\)の\(\sigma \)-代数（\(\sigma \)-algebra）や完全加法族（completely additive family of sets）、\(\sigma \)-加法族（\(\sigma \)-additive family）、または\(\sigma \)-集合代数（\(\sigma \)-set algebra）などと呼びます。

1つ目の条件は、\(\mathfrak{A}\)が非空であること、すなわち、\begin{equation*}\mathfrak{A}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、\(\mathfrak{A}\)が補集合について閉じていること、すなわち、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{A}:A^{c}\in \mathfrak{A}
\end{equation*}が成り立つということです。

3つ目の条件は、\(\mathfrak{A}\)が可算合併について閉じていること、すなわち、\begin{equation*}\forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{A}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{A}
\end{equation*}が成り立つということです。

改めて整理すると、集合族\(\mathfrak{A}\subset 2^{X}\)が\(\sigma \)-代数であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \mathfrak{A}\not=\phi \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{A}:A^{c}\in \mathfrak{A} \\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{A}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{A}
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。

σ-代数は全体集合を要素として持つ

集合\(X\)の部分集合族である\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{A}\)は\(X\)を要素として持ちます。つまり、\begin{equation*}X\in \mathfrak{A}
\end{equation*}が成り立つということです。

σ-代数は空集合を要素として持つ

\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{A}\)は空集合を要素として持ちます。つまり、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{A}
\end{equation*}が成り立ちます。

σ-代数は和集合について閉じている

\(\sigma \)-代数の定義より、\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{A}\)は可算合併に閉じています。つまり、\begin{equation*}\forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{A}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{A}
\end{equation*}が成り立ちます。

\(\sigma \)-代数は有限合併についても閉じています。

\(\sigma \)-代数は和集合についても閉じています。

σ-代数は共通部分について閉じている

\(\sigma \)-代数は可算交叉について閉じています。

\(\sigma \)-代数は有限交叉についても閉じています。

\(\sigma \)-代数は共通部分についても閉じています。

σ-代数は差集合について閉じている

\(\sigma \)-代数は差集合について閉じています。

σ-代数は対称差について閉じている

\(\sigma \)-代数は対称差について閉じています。

σ-代数の代替的な定義

\(\sigma \)-代数は全体集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じていることが明らかになりました。逆の主張も成り立つため、\(\sigma \)-代数を以下のように定義することもできます。

\(\sigma \)-代数は全体集合を要素として持つとともに、差集合の可算合併について閉じていることが明らかになりました。逆の主張も成り立つため、\(\sigma \)-代数を以下のように定義することもできます。

σ-代数と集合環の関係

集合族\(\mathfrak{R}\subset 2^{X}\)が集合環であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \mathfrak{R}\not=\phi \\
&&\left( R_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}:A\cap B\in \mathfrak{R}
\\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}:A\triangle B\in
\mathfrak{R}
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。

\(\sigma \)-代数は集合環でもあります。

\(\sigma \)-代数は集合環であることが明らかになりましたが、逆は成り立つとは限りません。集合環は\(\sigma \)-代数であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

集合環は和集合や有限合併について閉じている一方で、可算合併について閉じているとは限りません。そこで、可算合併についている集合環を\(\sigma \)-環（\(\sigma \)-ring）と呼びます。つまり、集合族\(\mathfrak{R}\subset 2^{X}\)が\(\sigma \)-環であることとは、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \mathfrak{R}\not=\phi \\
&&\left( R_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}:A\cap B\in \mathfrak{R}
\\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}:A\triangle B\in
\mathfrak{R} \\
&&\left( R_{4}\right) \ \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset
\mathfrak{R}:\bigcap_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{R}
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。

\(\sigma \)-代数は\(\sigma \)-環でもあります。

\(\sigma \)-代数は\(\sigma \)-環であることが明らかになりましたが、逆は成り立つとは限りません。\(\sigma \)-環は\(\sigma \)-代数であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

\(\sigma \)-環は全体集合\(X\)を要素として持つとは限りません。\(\sigma \)-環が全体集合を要素として持つことは、すなわち、以下の5つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \mathfrak{R}\not=\phi \\
&&\left( R_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}:A\cap B\in \mathfrak{R}
\\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}:A\triangle B\in
\mathfrak{R} \\
&&\left( R_{4}\right) \ \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset
\mathfrak{R}:\bigcap_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{R} \\
&&\left( R_{5}\right) \ X\in \mathfrak{R}
\end{eqnarray*}が成り立つことは、\(\sigma \)-環が\(\sigma \)-代数であるための必要十分条件です。

演習問題