多変数のルベーグ可測関数の定義
ユークリッド空間上のルベーグ集合上に定義された多変数関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。
TABLE OF CONTENTS
目次
MULTIVARIABLE LEBESGUE MEASURABLE FUNCTION
多変数のルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数を定義します。
多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数の定義
ユークリッド空間上のルベーグ集合上に定義された多変数の拡大実数値関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。
多変数のボレル可測関数の定義
ユークリッド空間上のボレル集合上に定義された多変数関数によるボレル集合の逆像がボレル集合であることが保証される場合、そのような関数はボレル可測であると言います。
多変数の拡大実数値ボレル可測関数の定義
ユークリッド空間上のボレル集合上に定義された多変数の拡大実数値関数によるボレル集合の逆像がボレル集合であることが保証される場合、そのような関数はボレル可測であると言います。
PROPERTIES OF LEBESGUE MEASURABLE FUNCTION
多変数のルベーグ可測関数の性質
多変数のルベーグ可測関数の性質について解説します。
多変数のルベーグ可測関数とほとんどいたるところで等しい多変数関数
ユークリッド空間上のルベーグ測度空間は完備です。つまり、零集合であるようなルベーグ可測集合を任意に選んだとき、その任意の部分集合がルベーグ可測になります。したがって、多変数のルベーグ可測関数とほとんどいたるところで等しい多変数関数もまたルベーグ可測になります。
多変数の連続関数はルベーグ可測関数
ユークリッド空間上のルベーグ可測集合上に定義された連続な多変数の実数値関数や拡大実数値関数はルベーグ可測です。また、ボレル集合上に定義された連続な多変数の実数値関数や拡大実数値関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数と連続関数の合成関数はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数と1変数のボレル可測関数の合成関数はルベーグ可測です。また、ボレル可測関数どうしの合成関数はボレル可測です。さらに、可測関数と連続関数の合成関数は可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数の定数倍はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数の定数倍として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの和はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの和として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの和として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの差はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの差として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの差として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの積はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの積として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数どうしの商はルベーグ可測関数
多変数のルベーグ可測関数どうしの商として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、多変数のボレル可測関数どうしの商として定義される関数はボレル可測関数です。
多変数のルベーグ可測関数の最大値関数と最小値関数はルベーグ可測関数
有限個の多変数ルベーグ可測関数から定義される最大値関数と最小値関数はルベーグ可測です。また、有限個の多変数ボレル可測関数から定義される最大値関数と最小値関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数列の上限関数と下限関数はルベーグ可測関数
可算個の多変数ルベーグ可測関数から定義される上限関数と下限関数はルベーグ可測です。また、可算個の多変数ボレル可測関数から定義される上限関数と下限関数はボレル可測です。
多変数のルベーグ可測関数列の上極限関数と下極限関数はルベーグ可測関数
多変数ルベーグ可測関数の列から定義される上極限関数と下極限関数はルベーグ可測です。また、多変数ボレル可測関数の列から定義される上極限関数と下極限関数はボレル可測です。
SIMPLE FUNCTION
多変数の単関数
ルベーグ可測関数は単関数と呼ばれる有限個の値だけをとり得るルベーグ可測関数によって近似可能です。
多変数の特性関数（指示関数）の定義と具体例
ユークリッド空間の部分集合が与えられれば、変数がその集合に属する場合には1を返し、変数がその集合に属さない場合には0を返す多変数関数が定義可能です。これを特性関数と呼びます。特性関数がルベーグ可測関数であることと、特性関数を定義する集合がルベーグ可測集合であることは必要十分です。
多変数の単関数の定義と具体例
ユークリッド空間上のルベーグ可測集合上に定義された多変数関数がルベーグ可測であるとともに、その値域が有限集合である場合、そのような関数を単関数と呼びます。
多変数の単関数の定数倍は単関数
多変数の単関数の定数倍として定義される多変数関数もまた単関数です。
多変数の単関数どうしの和は単関数
多変数の単関数どうしの和として定義される多変数関数もまた単関数です。
多変数の単関数どうしの差は単関数
多変数の単関数どうしの差として定義される多変数関数もまた単関数です。
多変数の単関数どうしの積は単関数
多変数の単関数どうしの積として定義される多変数関数もまた単関数です。
単関数による多変数のルベーグ可測関数の近似定理
多変数のルベーグ可測関数は多変数の単関数を用いて近似的に表現できます。
EXERCISE
確認テスト
ルベーグ測度に関する確認テストです。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
前提知識
本節を学ぶ上で必要となる前提知識はありません。
多変数関数（スカラー場）
多変数関数（スカラー場）という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。
ユークリッド空間上のルベーグ測度
ユークリッド空間の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
