ルベーグ集合上に定義された連続な多変数の実数値関数はルベーグ可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。
このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)は\(X\)上でルベーグ可測関数になります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上でルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上でルベーグ可測関数です。
ルベーグ可測集合上に定義された連続な多変数の拡大実数値関数はルベーグ可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。
このような拡大実数値関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)は\(X\)上で拡大実数値ルベーグ可測関数になります。
\end{equation*}がルベーグ可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上で拡大実数値ルベーグ可測関数です。
\begin{array}{cl}
\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)はルベーグ可測集合です。関数\(\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\ln \left(
x^{2}+y^{2}\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で拡大実数値ルベーグ可測です。
ボレル集合上に定義された連続な多変数の実数値関数はボレル可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。
このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)は\(X\)上でボレル可測関数になります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合であるとともに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上でボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合であるとともに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上でボレル可測関数です。
ボレル集合上に定義された連続な多変数の拡大実数値関数はボレル可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。
このような拡大実数値関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)は\(X\)上で拡大実数値ボレル可測関数になります。
\end{equation*}がボレル可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上で拡大実数値ボレル可測関数です。
\begin{array}{cl}
\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \right) \\
-\infty & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)はボレル集合です。関数\(\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\ln \left(
x^{2}+y^{2}\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で拡大実数値ボレル可測です。
