多変数のルベーグ可測関数どうしの差はルベーグ可測関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数であるものとします。

拡大実数値関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす場合には、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(f+g\)もまた\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

命題（ルベーグ可測関数の差はルベーグ可測関数）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているとともに、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つものとする。この場合、拡大実数値関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、\(f-g\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数となる。

証明

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先の命題では2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定しています。この条件が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left(
\boldsymbol{x}\right) \not\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、そもそも関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるため、\(f-g\)がルベーグ可測であるか検討することさえできません。具体例を挙げると、何らかの\(\boldsymbol{x}\in X\)のもとで、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =g\left( \boldsymbol{x}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、これらの差\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left( \boldsymbol{x}\right) =\left( +\infty
\right) -\left( +\infty \right)
\end{equation*}は不定形になってしまうため、この場合、関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義できず、したがって\(f-g\)はルベーグ可測ではありません。

例（全区間上に定義されたルベーグ可測関数どうしの差）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はルベーグ可測集合であるため、ユークリッド空間に定義されたルベーグ拡大実数値可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}をとることができます。以下の条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left( \boldsymbol{x}\right) \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になります。

例（ルベーグ可測関数どうしの差）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}に加えて実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:af\left( \boldsymbol{x}\right) -bg\left( \boldsymbol{x}\right) \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
af-bg:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。ルベーグ可測関数の定数倍はルベーグ可測であるため\(af\)と\(bg\)はルベーグ可測です。ルベーグ可測関数どうしの差はルベーグ可測であるため\(af-bg\)はルベーグ可測です。以上より、\(af-bg\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数であることが明らかになりました。

例（ルベーグ可測関数どうしの差）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数値関数がルベーグ可測であることと、その関数が拡大実数値ルベーグ可測であることは必要十分であるため、\(f,g\)は拡大実数値ルベーグ可測です。すると先の命題より\(f-g\)は拡大実数値ルベーグ可測ですが、\(f-g\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(f-g\)がルベーグ可測であることを意味します。結論を整理すると、実数値関数であるルベーグ可測関数\(f,g\)どうしの差である実数値関数\(f-g\)はルベーグ可測関数であるということです。

ボレル可測関数どうしの差はボレル可測関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数であるものとします。

拡大実数値関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす場合には、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(f-g\)もまた\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

命題（ボレル可測関数の差はボレル可測関数）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているとともに、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つものとする。この場合、拡大実数値関数\(f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、\(f-g\)もまた拡大実数値ボレル可測関数となる。

証明

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先の命題では2つの拡大実数値ボレル可測関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定していますが、その理由はルベーグ可測関数の場合と同様です。

例（ユークリッド空間上に定義されたボレル可測関数どうしの差）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はボレル集合であるため、ユークリッド空間上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}をとることができます。以下の条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( \boldsymbol{x}\right) -g\left( \boldsymbol{x}\right) \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまた拡大実数値ボレル可測関数になります。

例（ボレル可測関数どうしの差）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}に加えて実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:af\left( \boldsymbol{x}\right) -bg\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
af-bg:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。ボレル可測関数の定数倍はボレル可測であるため\(af\)と\(bg\)はボレル可測です。ボレル可測関数どうしの差はボレル可測であるため\(af-bg\)はボレル可測です。以上より、\(af-bg\)もまた拡大実数値ボレル可測関数であることが明らかになりました。

例（ボレル可測関数どうしの差）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたボレル可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数値関数がボレル可測であることと、その関数が拡大実数値ボレル可測であることは必要十分であるため、\(f,g\)は拡大実数値ボレル可測です。すると先の命題より\(f-g\)は拡大実数値ボレル可測ですが、\(f-g\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(f-g\)がボレル可測であることを意味します。結論を整理すると、実数値関数であるボレル可測関数\(f,g\)どうしの差である実数値関数\(f-g\)はボレル可測関数であるということです。

演習問題

問題（ルベーグ可測関数どうしの差）

以下の関数\begin{equation*}
\ln \left( x+y\right) -\frac{1}{x+y}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測でしょうか。議論してください。

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問題（ルベーグ可測関数どうしの差）

以下の関数\begin{equation*}
\frac{\sin \left( x+y+1\right) }{2}-\frac{\cos \left( x+y+1\right) }{2}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測でしょうか。議論してください。

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問題（2つのルベーグ可測関数が一致する事象は可測）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つのルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =g\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}がルベーグ可測集合であることを示してください。

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