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多変数のルベーグ可測関数

多変数のルベーグ可測関数列の上極限関数と下極限関数はルベーグ可測関数

目次

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ルベーグ可測関数列の上極限関数はルベーグ可測関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(\boldsymbol{x}\in X\)を選んだ上で固定し、\(\boldsymbol{x}\)に対してそれぞれの関数\(f_{i}\)が定める値からなる拡大実数列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。番号\(i\in \mathbb{N} \)を選べば、\(i\)番目以降の項からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{i+1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{i+1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まります。それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)について先の上限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\sup \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\} \\
\sup \left\{ f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{3}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \sup \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{i+1}\left(
\boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\} \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
,f_{i+1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これを点\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して関数列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が定める値からなる拡大実数列\(\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の上極限と呼び、\begin{equation*}\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
=\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
,f_{i+1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}で表記します。

拡大実数列の上極限は1つの拡大実数として定まるため、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

まずは補題を示します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を定義域とする拡大実数値ルベーグ可測関数の列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられれば、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\sup \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を値として定める拡大実数関数\begin{equation*}
\sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\inf \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を値として定める拡大実数関数\begin{equation*}
\inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれ定義可能です。これらの関数を用いることにより、ルベーグ可測関数列の上極限関数を以下のように表現できます。

命題(ルベーグ可測関数列の上極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとする。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、以下の関係\begin{equation*}\lim_{i\rightarrow \infty }\sup f_{i}=\inf_{i\in \mathbb{N} }\sup_{k\geq i}f_{k}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の補題を踏まえた上で以下を示します。

命題(ルベーグ可測関数列の上極限関数はルベーグ可測関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとする。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数である。
証明

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例(ユークリッド空間上に定義されたルベーグ可測関数列の上極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はルベーグ可測集合であるため、ユークリッド空間上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとることができます。つまり、この関数列の一般項は拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ルベーグ可測関数です。

例(ルベーグ可測関数列の上極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数の列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。有界な数列の上極限は1つの実数として定まるため、すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界である場合には、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\)は拡大実数値ルベーグ可測関数です。ただし、\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\)がルベーグ可測関数であることを意味します。以上より、有界なルベーグ可測関数の列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)から定義される上極限関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\)はルベーグ可測関数であることが明らかになりました。

 

ルベーグ可測関数列の下極限関数はルベーグ可測関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(\boldsymbol{x}\in X\)を選んだ上で固定し、\(\boldsymbol{x}\)に対してそれぞれの関数\(f_{i}\)が定める値からなる拡大実数列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。番号\(i\in \mathbb{N} \)を選べば、\(i\)番目以降の項からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{i+1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{i+1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まります。それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)について先の下限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\inf \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\} \\
\inf \left\{ f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{3}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \inf \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{i+1}\left(
\boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\} \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
,f_{i+1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これを点\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して関数列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が定める値からなる拡大実数列\(\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の下極限と呼び、\begin{equation*}\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
=\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
,f_{i+1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}で表記します。

拡大実数列の下極限は1つの拡大実数として定まるため、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

まずは補題を示します。

命題(ルベーグ可測関数列の下極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとする。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、以下の関係\begin{equation*}\lim_{i\rightarrow \infty }\inf f_{i}=\sup_{i\in \mathbb{N} }\inf_{k\geq i}f_{k}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の補題を踏まえた上で以下を示します。

命題(ルベーグ可測関数列の下極限関数はルベーグ可測関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとする。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数である。
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例(ユークリッド空間上に定義されたルベーグ可測関数列の下極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はルベーグ可測集合であるため、ユークリッド空間上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとることができます。つまり、この関数列の一般項は拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ルベーグ可測関数です。

例(ルベーグ可測関数列の下極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数の列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。有界な数列の下極限は1つの実数として定まるため、すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界である場合には、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\)は拡大実数値ルベーグ可測関数です。ただし、\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\)がルベーグ可測関数であることを意味します。以上より、有界なルベーグ可測関数の列\(\left\{f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)から定義される下極限関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\)はルベーグ可測関数であることが明らかになりました。

 

ボレル可測関数列の上極限関数はボレル可測関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値ボレル可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

拡大実数列の上極限は1つの拡大実数として定まるため、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

命題(ボレル可測関数列の上極限関数はボレル可測関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとする。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数である。
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例(ユークリッド空間上に定義されたボレル可測関数列の上極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はボレル集合であるため、ユークリッド空間上に定義された拡大実数値ボレル可測関数列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとることができます。つまり、この関数列の一般項は拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ボレル可測関数です。

例(ボレル可測関数列の上極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたボレル可測関数の列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。有界な数列の上極限は1つの実数として定まるため、すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界である場合には、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\)は拡大実数値ボレル可測関数です。ただし、\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\lim\limits_{i\rightarrow+\infty }\sup f_{i}\)がボレル可測関数であることを意味します。以上より、有界なボレル可測関数の列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)から定義される上極限関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\sup f_{i}\)はボレル可測関数であることが明らかになりました。

 

ボレル可測関数列の下極限関数はボレル可測関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値ボレル可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

拡大実数列の下極限は1つの拡大実数として定まるため、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

命題(ボレル可測関数列の下極限関数はボレル可測関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとする。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数である。
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例(ユークリッド空間上に定義されたボレル可測関数列の下極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はボレル集合であるため、ユークリッド空間上に定義された拡大実数値ボレル可測関数列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとることができます。つまり、この関数列の一般項は拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ボレル可測関数です。

例(ボレル可測関数列の下極限関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたボレル可測関数の列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。有界な数列の下極限は1つの実数として定まるため、すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が有界である場合には、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\)は拡大実数値ボレル可測関数です。ただし、\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\lim\limits_{i\rightarrow+\infty }\inf f_{i}\)がボレル可測関数であることを意味します。以上より、有界なボレル可測関数の列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)から定義される下極限関数\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\)はボレル可測関数であることが明らかになりました。

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