有限個のルベーグ可測関数の最大値関数はルベーグ可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする2つの多変数の拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数であるものとします。
点\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\max \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
\geq g\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \\
g\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
<g\left( \boldsymbol{x}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \)は2つの拡大実数からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の有限な部分集合の最大値は1つの拡大実数として定まるため、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\max \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right)
,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\max \left\{ f,g\right\} \left( \boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f\left(
\boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\max \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。
\boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\max \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数である。
以上の命題は2つのルベーグ可測関数に関するものですが、有限個のルベーグ可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする有限個の多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。その上で、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になります。
\boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数である。
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}をとることができます。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ルベーグ可測関数です。
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の有限部分集合の最大値は1つの実数として定まるため、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)は拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\max\limits_{i\in \left\{1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)は拡大実数値ルベーグ可測関数です。ただし、\(\max\limits_{i\in \left\{1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)がルベーグ可測関数であることを意味します。以上より、有限個のルベーグ可測関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)から定義される最大値関数\(\max\limits_{i\in\left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)はルベーグ可測関数であることが明らかになりました。
有限個のルベーグ可測関数の最小値関数はルベーグ可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする2つの多変数の拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数であるものとします。
点\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\min \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
g\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
\geq g\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \\
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
<g\left( \boldsymbol{x}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \)は2つの拡大実数からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の有限な部分集合の最小値は1つの拡大実数として定まるため、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\min \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right)
,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\min \left\{ f,g\right\} \left( \boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f\left(
\boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\min \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。
\boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\min \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数である。
以上の命題は2つのルベーグ可測関数に関するものですが、有限個のルベーグ可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする有限個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。その上で、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になります。
\boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数である。
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}をとることができます。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ルベーグ可測関数です。
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の有限部分集合の最小値は1つの実数として定まるため、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)は拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\min\limits_{i\in \left\{1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)は拡大実数値ルベーグ可測関数です。ただし、\(\min\limits_{i\in \left\{1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)がルベーグ可測関数であることを意味します。以上より、有限個のルベーグ可測関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)から定義される最小値関数\(\min\limits_{i\in\left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)はルベーグ可測関数であることが明らかになりました。
有限個のボレル可測関数の最大値関数はボレル可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする2つの多変数の拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数であるものとします。
点\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\max \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
\geq g\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \\
g\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
<g\left( \boldsymbol{x}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \)は2つの拡大実数からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の有限な部分集合の最大値は1つの拡大実数として定まるため、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\max \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right)
,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\max \left\{ f,g\right\} \left( \boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f\left(
\boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\max \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。
\boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\max \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数である。
以上の命題は2つのボレル可測関数に関するものですが、有限個のボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする有限個の多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。その上で、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になります。
\boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数である。
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}をとることができます。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ボレル可測関数です。
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の有限部分集合の最大値は1つの実数として定まるため、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)は拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\max\limits_{i\in \left\{1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)は拡大実数値ボレル可測関数です。ただし、\(\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots,n\right\} }f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)がボレル可測関数であることを意味します。以上より、有限個のボレル可測関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)から定義される最大値関数\(\max\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots,n\right\} }f_{i}\)はボレル可測関数であることが明らかになりました。
有限個のボレル可測関数の最小値関数はボレル可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする2つの多変数の拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数であるものとします。
点\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\min \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
g\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
\geq g\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \\
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right)
<g\left( \boldsymbol{x}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \)は2つの拡大実数からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の有限な部分集合の最小値は1つの拡大実数として定まるため、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\min \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right)
,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\min \left\{ f,g\right\} \left( \boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f\left(
\boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\min \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。
\boldsymbol{x}\right) ,g\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\min \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数である。
以上の命題は2つのボレル可測関数に関するものですが、有限個のボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする有限個の拡大実数値ボレル可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。その上で、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になります。
\boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数である。
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}をとることができます。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ボレル可測関数です。
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の有限部分集合の最小値は1つの実数として定まるため、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)は拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\min\limits_{i\in \left\{1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)は拡大実数値ボレル可測関数です。ただし、\(\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots,n\right\} }f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\)がボレル可測関数であることを意味します。以上より、有限個のボレル可測関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)から定義される最小値関数\(\min\limits_{i\in \left\{ 1,\cdots,n\right\} }f_{i}\)はボレル可測関数であることが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}f^{+}\left( \boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) ,0\right\} \end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
f^{+}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることを示してください。 - それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}f^{-}\left( \boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ -f\left( \boldsymbol{x}\right) ,0\right\} \end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
f^{-}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることを示してください。 - それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( \boldsymbol{x}\right) =\left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\vert
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、以下の関係\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert =f^{+}+f^{-}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。 - \(\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が拡大実数値ルベーグ可測関数であることを示してください。
- ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況において、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( \boldsymbol{x}\right) =\left\vert f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\vert
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまたルベーグ可測関数であることを示してください。
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