多変数のボレル可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}に加えて、実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を、もう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に存在する実数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \)へ変換する状況を想定するということです。
変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)においてこの集合\(B\)に対応する集合は、関数\(f\)のもとでの集合\(B\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\}
\end{equation*}です。したがって、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合\(B\)が与えられたとき、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)においてこの集合に対応する集合が可測であることは、以下の条件\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
以上を踏まえた上で、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ場合、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)においてこの集合\(B\)の逆像が可測であることが保証されるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in
B\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(f\)はボレル可測(Borel measurable)であると言います。また、ボレル可測な関数をボレル可測関数(Borel measurable function)と呼びます。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \left( x,y\right) \in X\ |\ f\left( x,y\right) \in
B\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{3}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\ |\ f\left( x,y,z\right) \in
B\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{3}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
ボレル可測関数であるための必要十分条件
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \subset 2^{\mathbb{R} }\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を生成する\(\mathbb{R} \)の部分集合族が存在することが明らかになりました。
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を生成する\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{A}\)を選ぶということです。先の議論より、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)自身は\(\mathcal{A}\)の具体例の1つです。このような集合族\(\mathcal{A}\)の要素\(B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)においてその逆像が可測であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がボレル可測であるための必要十分条件です。
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)がボレル可測関数であるための必要十分条件である。ただし、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\}
\end{equation*}である。
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、以下の条件\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)がボレル可測関数であるための必要十分条件ですが、これはボレル可測関数の定義に他なりません。つまり、先の命題はボレル可測関数の定義の一般化です。
区間を用いたボレル可測関数の表現
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)はボレル可測関数になります。
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は様々な区間族から生成可能です。具体例を挙げると、以下の区間族\begin{eqnarray*}\mathcal{A}_{1} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right] \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{2} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{3} &=&\left\{ \left[ c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{4} &=&\left\{ \left( c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}などに関して、\begin{equation*}
\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{3}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つため、以上の事実と先の命題を利用することにより、ボレル可測関数を以下のように様々な形で表現できます。
&&\left( b\right) \ \forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( \left( -\infty ,c\right] \right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \text{が成り立つ} \\
&&\left( c\right) \ \forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( \left( -\infty ,c\right) \right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \text{が成り立つ} \\
&&\left( d\right) \ \forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( \left[ c,+\infty \right) \right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \text{が成り立つ} \\
&&\left( e\right) \ \forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( \left( c,+\infty \right) \right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。ただし、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( \left( -\infty ,c\right] \right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in
X\ |\ -\infty <f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq c\right\} \\
f^{-1}\left( \left( -\infty ,c\right) \right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in
X\ |\ -\infty <f\left( \boldsymbol{x}\right) <c\right\} \\
f^{-1}\left( \left[ c,+\infty \right) \right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in
X\ |\ c\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) <+\infty \right\} \\
f^{-1}\left( \left( c,+\infty \right) \right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in
X\ |\ c<f\left( \boldsymbol{x}\right) <+\infty \right\}
\end{eqnarray*}である。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は多変数の定数関数です。\(\mathbb{R} ^{n}\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)です。また、\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left( c,+\infty \right) \right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ c<f\left( \boldsymbol{x}\right) <+\infty \right\} \quad \because
\text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ c<k<+\infty \right\} \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}\mathbb{R} ^{n} & \left( if\ c<k\right) \\
\phi & \left( if\ c\geq k\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となりますが、これはボレル集合であるため、\begin{equation*}
\forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( \left( c,+\infty \right) \right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって先の命題より\(f\)はボレル可測です。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、\(f\)による\(c\)の逆像が、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =c\right\}
\end{equation*}として定まりますが、これがボレル集合になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}
\forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( c\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
f^{-1}\left( c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =c\right\}
\end{equation*}である。
\end{equation*}と表されるものとします。先に示したように\(f\)はボレル可測です。\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( c\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =c\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k=c\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}\mathbb{R} ^{n} & \left( if\ k=c\right) \\
\phi & \left( if\ k\not=c\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となりますが、これらはボレル集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
以上の諸命題を利用するとボレル可測関数を以下のように表現することもできます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)がボレル可測関数であるための必要十分条件である。ただし、\begin{equation*}f^{-1}\left( I\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in I\right\}
\end{equation*}である。
開集合を用いたボレル可測関数の表現
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)はボレル可測関数になります。
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \subset 2^{\mathbb{R} }\)から生成される集合族であるため、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と先の命題を利用することにより、ボレル可測関数を以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)がボレル可測関数であるための必要十分条件である。ただし、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\}
\end{equation*}である。
ボレル可測関数とルベーグ可測関数の関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がボレル可測であるものとします。つまり、\begin{equation}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。
ボレル集合はルベーグ可測であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)とルベーグ集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の間には以下の関係\begin{equation}\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{M}_{\mu } \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって先の関数\(f\)の定義域は\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を満たすため、\(f\)がルベーグ可測関数であるか検討できます。実際、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}を得るため、\(f\)はルベーグ可測でもあります。以上より、ボレル可測関数はルベーグ可測であることが明らかになりました。
先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、ルベーグ可測関数はボレル可測であるとは限りません。ルベーグ可測集合はボレル集合であるとは限らないからです。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はボレル可測関数でしょうか。議論してください。
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