多変数の拡大実数値ボレル可測関数の定義

多変数の拡大実数値ボレル可測関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}に加えて、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)および\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を任意に選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。つまり、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を、もう一方の可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)上に存在する拡大実数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \overline{\mathbb{R} }\)へ変換する状況を想定するということです。

変換後の可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を任意に選びます。もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)においてこの集合\(B\)に対応する集合は、関数\(f\)のもとでの集合\(B\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\}
\end{equation*}です。したがって、変換後の可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)において可測な集合\(B\)が与えられたとき、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)においてこの集合に対応する集合が可測であることは、以下の条件\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、変換後の可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)において可測な集合\(B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を任意に選んだ場合、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)においてこの集合\(B\)の逆像が可測であることが保証されるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in
B\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(f\)はボレル可測（Borel measurable）であると言います。また、ボレル可測な拡大実数値関数を拡大実数値ボレル可測関数（extended real valued Borel measurable function）と呼びます。問題としている関数が拡大実数値関数であることが文脈から明らかである場合、拡大実数値ボレル可測関数をシンプルにボレル可測関数（Borel measurable function）と呼ぶこともできます。

ボレル可測関数であるための必要十分条件

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) =\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を生成する\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族が存在することが明らかになりました。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を生成する\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{A}\)を選ぶということです。先の議論より、\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)自身は\(\mathcal{A}\)の具体例の1つです。このような集合族\(\mathcal{A}\)の要素\(B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right) \)においてその逆像が可測であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、拡大実数値関数\(X:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)がボレル可測であるための必要十分条件です。

区間を用いたボレル可測関数の表現

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)はボレル可測関数になります。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は様々な区間族から生成可能です。具体例を挙げると、以下の区間族\begin{eqnarray*}\mathcal{A}_{1} &=&\left\{ \left[ -\infty ,c\right] \subset \overline{\mathbb{R} }\ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{2} &=&\left\{ \left[ -\infty ,c\right) \subset \overline{\mathbb{R} }\ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{3} &=&\left\{ \left[ c,+\infty \right] \subset \overline{\mathbb{R} }\ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{4} &=&\left\{ \left( c,+\infty \right] \subset \overline{\mathbb{R} }\ |\ c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}などに関して、\begin{equation*}
\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{3}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つため、以上の事実と先の命題を利用することにより、ルベーグ可測関数を以下のように様々な形で表現できます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとします。拡大実数\(c\in \overline{\mathbb{R} }\)を任意に選べば、\(f\)による\(c\)の逆像が、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =c\right\}
\end{equation*}として定まりますが、これがボレル集合になること保証されます。つまり、\begin{equation*}
\forall c\in \overline{\mathbb{R} }:f^{-1}\left( c\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の諸命題を利用すると、ボレル可測関数を以下のように表現することもできます。

開集合を用いたボレル可測関数の表現

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義された拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)はボレル可測関数になります。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は拡大実数系上の開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\)から生成される集合族であるため、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) =\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と先の命題を利用することにより、ボレル可測関数を以下のように表現できます。