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多変数のルベーグ可測関数

多変数の特性関数(指示関数)の定義と具体例

目次

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多変数の特性関数(指示関数)

ユークリッド空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\chi _{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \boldsymbol{x}\in A\right) \\
0 & \left( if\ \boldsymbol{x}\not\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める多変数関数\begin{equation*}
\chi _{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまりこれは、\(\boldsymbol{x}\)が集合\(A\)に属する場合にはその事実を\(1\)という数字で表現し、\(\boldsymbol{x}\)が集合\(A\)に属さない場合にはその事実を\(0\)という数字で表現する関数です。このような関数を集合\(A\)に関する特性関数(characteristic function ofthe set \(A\))や指示関数(indicator function)などと呼びます。

例(特性関数)
集合\(\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right) \subset \mathbb{R} ^{2}\)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}\chi _{\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right) }\left( x,y\right)
=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0<x<1\wedge 0<y<1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。

例(特性関数)
ユークリッド空間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)に加えて、集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)に関する特性関数\(\chi_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。その上で、これらの関数の積に相当する関数\begin{equation*}f\cdot \chi _{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。この関数がそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( f\cdot \chi _{A}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) &=&f\left(
\boldsymbol{x}\right) \cdot \chi _{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) \cdot 1 & \left( if\ \boldsymbol{x}\in
A\right) \\
f\left( \boldsymbol{x}\right) \cdot 0 & \left( if\ \boldsymbol{x}\not\in
A\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in A\right) \\
0 & \left( if\ \boldsymbol{x}\not\in A\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。

 

特性関数を用いた可測集合の特徴づけ

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上の可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選び、この可測集合\(A\)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはルベーグ可測関数になることが保証されます。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測関数であるということです。

命題(可測集合に関する特性関数は可測)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、特性関数\(\chi _{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\chi _{A}\)はルベーグ可測関数である。
証明

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先の命題の逆の主張もまた成り立ちます。つまり、集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)に関する特性関数\(\chi_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がルベーグ可測である場合、この集合\(A\)がルベーグ可測集合であることが保証されるということです。

命題(可測な特性関数を定義する集合は可測)
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\chi _{A}\)がルベーグ可測関数であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合である。
証明

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以上の2つの命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が可測集合であることと、その集合\(A\)に関する特性関数\(\chi _{A}\)がルベーグ可測関数であることが必要十分であることが明らかになりました。

命題(特性関数を用いたルベーグ可測集合の特徴づけ)
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合であることと、\(\chi _{A}\)がルベーグ可測関数であることは必要十分である。

ボレル集合とボレル可測関数の間にも同様の関係が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

命題(特性関数を用いたボレル集合の特徴づけ)
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合であることと、\(\chi _{A}\)がボレル可測関数であることは必要十分である。

 

空集合に関する特性関数

空集合\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\phi }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(0\)だけを値としてとる定数関数です。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{\phi }\left( \boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(空集合に関する特性関数)
空集合\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)に関する特性関数\(\chi_{\phi }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{\phi }\left( \boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(空集合に関する特性関数)
空集合はルベーグ可測集合であるため\(\phi \in \mathfrak{M}_{\mu }\)であり、したがって先の命題より、空集合に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\phi }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{\phi }\left( \boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。

例(空集合に関する特性関数)
空集合はボレル集合であるため\(\phi \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)であり、したがって先の命題より、空集合に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\phi }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はボレル可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{\phi }\left( \boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。

 

ユークリッド空間に関する特性関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\mathbb{R} ^{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(1\)だけを値としてとる定数関数です。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{\mathbb{R} ^{n}}\left( \boldsymbol{x}\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(ユークリッド空間に関する特性関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に関する特性関数\(\chi _{\mathbb{R} ^{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{\mathbb{R} ^{n}}\left( \boldsymbol{x}\right) =1
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(ユークリッド空間に関する特性関数)
ユークリッド空間はルベーグ可測集合であるため\(\mathbb{R} ^{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)であり、したがって先の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\mathbb{R} ^{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{\mathbb{R} ^{n}}\left( \boldsymbol{x}\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。

例(ユークリッド空間に関する特性関数)
ユークリッド空間はボレル集合であるため\(\mathbb{R} ^{n}\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)であり、したがって先の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\mathbb{R} ^{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はボレル可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{\mathbb{R} ^{n}}\left( \boldsymbol{x}\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。

 

包含関係と特性関数

2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)の間に\(A\subset B\)が成り立つものとします。それぞれの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義すると、以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \leq \chi _{B}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A}\leq \chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象である場合、\(\chi _{A}\)が定める値は必ず\(\chi _{B}\)が定める値以下になります。

命題(包含関係と特性関数)
2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A},\chi _{B}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow \chi _{A}\leq \chi _{B}
\end{equation*}が成り立つ。

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補集合と特性関数

集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その補集合\(A^{c}=\mathbb{R} ^{n}\backslash A\subset \mathbb{R} ^{n}\)をとり、両者に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A^{c}} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{A^{c}}\left( \boldsymbol{x}\right) =1-\chi _{A}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A^{c}}=1-\chi _{A}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A}+\chi _{A^{c}}=1
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の特性関数が定める値と補集合\(A^{c}\)の特性関数が定める値の和は定数関数\(1\)です。

命題(補集合と特性関数)
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A},\chi _{A^{c}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\chi _{A^{c}}=1-\chi _{A}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(補集合と特性関数)
ルベーグ可測集合族は補集合について閉じているため、ルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選ぶと\(A^{c}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A^{c}} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はともにルベーグ可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\chi _{A^{c}}=1-\chi _{A}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(補集合と特性関数)
ボレル集合族は補集合について閉じているため、ボレル集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を任意に選ぶと\(A^{c}\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A^{c}} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はともにボレル可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\chi _{A^{c}}=1-\chi _{A}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

共通部分と特性関数

2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で共通部分\(A\cap B\subset \mathbb{R} ^{n}\)をとり、これらの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\cap B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{A\cap B}\left( \boldsymbol{x}\right) =\min \left\{ \chi
_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\chi _{B}\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\cap B}=\min \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、共通部分\(A\cap B\)の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の最小値と一致します。加えて、以下の関係\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{A\cap B}\left( \boldsymbol{x}\right) =\chi _{A}\left(
\boldsymbol{x}\right) \cdot \chi _{B}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\cap B}=\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}もまた成り立ちます。共通部分の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の積と一致するということです。

命題(共通部分と特性関数)
2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A},\chi _{B},\chi _{A\cap B}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\chi _{A\cap B} &=&\min \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\} \\
&=&\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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例(共通部分と特性関数)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は共通部分について閉じているため、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選ぶと\(A\cap B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\cap B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれもルベーグ可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\chi _{A\cap B}=\min \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\} =\chi _{A}\cdot
\chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(共通部分と特性関数)
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は共通部分について閉じているため、ボレル集合\(A,B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を任意に選ぶと\(A\cap B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\cap B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれもボレル可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\chi _{A\cap B}=\min \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\} =\chi _{A}\cdot
\chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)をとり、これらの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A_{\lambda }} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \chi _{\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\inf \left\{ \chi _{A_{\lambda }}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \left\{ 0,1\right\} \ |\ \lambda \in \Lambda \right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}=\inf_{\lambda \in \Lambda
}\chi _{A_{\lambda }}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(共通部分と特性関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi_{A_{\lambda }},\chi _{\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\chi _{\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}=\inf_{\lambda \in \Lambda
}\chi _{A_{\lambda }}
\end{equation*}が成り立つ。

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和集合(非交和)と特性関数

2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で和集合\(A\cup B\subset \mathbb{R} ^{n}\)をとり、これらの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\cup B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{A\cup B}\left( \boldsymbol{x}\right) =\max \left\{ \chi
_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\chi _{B}\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\cup B}=\max \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、和集合\(A\cup B\)の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の最大値と一致します。特に、\(A\)と\(B\)が互いに素である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\cap B=\phi
\end{equation*}である場合には、以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{A\cup B}\left( \boldsymbol{x}\right) =\chi _{A}\left(
\boldsymbol{x}\right) +\chi _{B}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\cup B}=\chi _{A}+\chi _{B}
\end{equation*}もまた成り立ちます。互いに素な集合の和集合の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の和と一致します。

互いに素な集合\(A,B\)の和集合を非交和と呼び、これを、\begin{equation*}A\sqcup B
\end{equation*}で表記します。この表記を踏まえると、先の主張を、\begin{equation*}
\chi _{A\sqcup B}=\chi _{A}+\chi _{B}
\end{equation*}と表現できます。つまり、非交和の特性関数が定める値は、個々の集合の特性関数が定める値の和と一致します。

命題(和集合と特性関数)
2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A},\chi _{B},\chi _{A\cup B}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\chi _{A\cup B}=\max \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(A\cap B=\phi \)である場合には以下の関係\begin{equation*}\chi _{A\sqcup B}=\chi _{A}+\chi _{B}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(和集合と特性関数)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は和集合について閉じているため、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選ぶと\(A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\cup B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれもルベーグ可測関数です。さらに先の命題より、\begin{eqnarray*}
\chi _{A\cup B} &=&\max \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\} \\
\chi _{A\sqcup B} &=&\chi _{A}+\chi _{B}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

例(和集合と特性関数)
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は和集合について閉じているため、ボレル集合\(A,B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を任意に選ぶと\(A\cup B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\cup B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれもボレル可測関数です。さらに先の命題より、\begin{eqnarray*}
\chi _{A\cup B} &=&\max \left\{ \chi _{A},\chi _{B}\right\} \\
\chi _{A\sqcup B} &=&\chi _{A}+\chi _{B}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の和集合\(\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)をとり、これらの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A_{\lambda }} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \chi _{\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}\right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =\sup \left\{ \chi _{A_{\lambda }}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \left\{ 0,1\right\} \ |\ \lambda \in \Lambda \right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}=\sup_{\lambda \in \Lambda
}\chi _{A_{\lambda }}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(共通部分と特性関数)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi_{A_{\lambda }},\chi _{\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\chi _{\bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }}=\sup_{\lambda \in \Lambda
}\chi _{A_{\lambda }}
\end{equation*}が成り立つ。

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差集合と特性関数

2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で差集合\(A\backslash B\subset \mathbb{R} \)をとり、これらの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\backslash B} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{A\backslash B}\left( \boldsymbol{x}\right) =\chi _{A}\left(
\boldsymbol{x}\right) -\chi _{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \cdot \chi
_{B}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\backslash B}=\chi _{A}-\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(差集合と特性関数)
2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A},\chi _{B},\chi _{A\backslash B}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\chi _{A\backslash B}=\chi _{A}-\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(差集合と特性関数)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は差集合について閉じているため、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選ぶと\(A\backslash B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\backslash B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれもルベーグ可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\chi _{A\backslash B}=\chi _{A}-\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(差集合と特性関数)
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は差集合について閉じているため、ボレル集合\(A,B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を任意に選ぶと\(A\backslash B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\backslash B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれもボレル可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\chi _{A\backslash B}=\chi _{A}-\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

対称差と特性関数

2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で対称差\(A\triangle B\subset \mathbb{R} ^{n}\)をとり、これらの集合に関する特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\triangle B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\chi _{A\triangle B}\left( \boldsymbol{x}\right) =\chi _{A}\left(
\boldsymbol{x}\right) +\chi _{B}\left( \boldsymbol{x}\right) -2\chi
_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \cdot \chi _{B}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\chi _{A\triangle B}=\chi _{A}+\chi _{B}-2\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(対称差と特性関数)
2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A},\chi _{B},\chi _{A\triangle B}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\chi _{A\triangle B}=\chi _{A}+\chi _{B}-2\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(対称差と特性関数)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は対称差について閉じているため、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選ぶと\(A\triangle B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\triangle B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれもルベーグ可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\chi _{A\triangle B}=\chi _{A}+\chi _{B}-2\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(対称差と特性関数)
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は対称差について閉じているため、ボレル集合\(A,B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を任意に選ぶと\(A\triangle B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が成り立ちます。先の命題より、特性関数\begin{eqnarray*}\chi _{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
\chi _{A\triangle B} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれもボレル可測関数です。さらに先の命題より、\begin{equation*}
\chi _{A\triangle B}=\chi _{A}+\chi _{B}-2\chi _{A}\cdot \chi _{B}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(可測集合上に定義された特性関数は可測)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値が、\(X\)の部分集合であるようなルベーグ集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \boldsymbol{x}\in A\right) \\
0 & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\backslash A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)がルベーグ可測関数であることを示してください。
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問題(和集合と特性関数)
2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A},\chi _{B},\chi _{A\cup B}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義します。このとき、以下の関係\begin{equation*}\chi _{A\cup B}=\min \left\{ \chi _{A}+\chi _{B},1\right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合の特性関数と共通部分の特性関数の関係)
2つの集合\(A,B\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A},\chi _{B},\chi _{A\cup B},\chi_{A\cap B}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ定義します。このとき、以下の関係\begin{equation*}\chi _{A\cup B}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A\cap B}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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