多変数のルベーグ可測関数の定義

多変数のルベーグ可測関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}に加えて、実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を、もう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に存在する実数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \)へ変換する状況を想定するということです。

変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)においてこの集合\(B\)に対応する集合は、関数\(f\)のもとでの集合\(B\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\}
\end{equation*}です。したがって、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合\(B\)が与えられたとき、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)においてこの集合に対応する集合が可測であることは、以下の条件\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ場合、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)においてこの集合\(B\)の逆像が可測であることが保証されるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in
B\right\} \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(f\)はルベーグ可測（Lebesgue measurable）であるとか可測である（measurable）であるなど言います。また、ルベーグ可測な関数をルベーグ可測関数（real valued Lebesgue measurable function）や可測関数（measurable function）などと呼びます。

ルベーグ可測関数であるための必要十分条件

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \subset 2^{\mathbb{R} }\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を生成する\(\mathbb{R} \)の部分集合族が存在することが明らかになりました。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を生成する\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{A}\)を選ぶということです。先の議論より、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)自身は\(\mathcal{A}\)の具体例の1つです。このような集合族\(\mathcal{A}\)の要素\(B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)においてその逆像が可測であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\} \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がルベーグ可測であるための必要十分条件です。

区間を用いたルベーグ可測関数の表現

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\} \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)はルベーグ可測関数になります。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は様々な区間族から生成可能です。具体例を挙げると、以下の区間族\begin{eqnarray*}\mathcal{A}_{1} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right] \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{2} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{3} &=&\left\{ \left[ c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{4} &=&\left\{ \left( c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}などに関して、\begin{equation*}
\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{3}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つため、以上の事実と先の命題を利用することにより、ルベーグ可測関数を以下のように様々な形で表現できます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、\(f\)による\(c\)の逆像が、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =c\right\}
\end{equation*}として定まりますが、これがルベーグ可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}
\forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( c\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の諸命題を利用すると、ルベーグ可測関数を以下のように表現することもできます。

開集合を用いたルベーグ可測関数の表現

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)はルベーグ可測関数になります。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \subset 2^{\mathbb{R} }\)から生成される集合族であるため、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と先の命題を利用することにより、ルベーグ可測関数を以下のように表現できます。

演習問題