単関数による多変数のルベーグ可測関数の近似定理

単関数による近似補題

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を定義域とする多変数のルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は\(X\)上において有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}は有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{R} ,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:m\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(M\)は\(f\)の値域の上界であり、\(m\)は下界です。

以上の状況において正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合、それに対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X:L_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{x}\right) \leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq U_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X:0\leq U_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{x}\right) -L_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right)
<\varepsilon
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ L_{\varepsilon }\leq f\leq U_{\varepsilon } \\
&&\left( b\right) \ 0\leq U_{\varepsilon }-L_{\varepsilon }<\varepsilon
\end{eqnarray*}を満たす2つの単関数\begin{eqnarray*}
L_{\varepsilon } &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
U_{\varepsilon } &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在することが保証されます。

条件\(\left( a\right) \)は、関数\(f\)を挟む2つの単関数\(L_{\varepsilon},U_{\varepsilon }\)が存在することを意味します。限りなく小さい正の実数\(\varepsilon \)についても主張は成り立つため、条件\(\left( b\right) \)は、関数\(f\)を挟む2つの単関数\(L_{\varepsilon },U_{\varepsilon }\)がとる値が限りなく等しいことを意味します。つまり、有界なルベーグ可測関数は限りなく等しい2つの単関数によって挟まれるということです。以上の主張を単関数による近似補題（simple approximation lemma）と呼びます。

単関数による近似定理

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられたとき、それに対して以下の条件を満たす関数列\(\left\{ g_{i}\right\} \)が存在することが保証されます。

1つ目の条件は、この関数列\(\left\{ g_{i}\right\} \)がいずれも\(X\)上に定義された単関数であるということです。つまり、この関数列\(\left\{ g_{i}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}g_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であり、なおかつこれは単関数です。

2つ目の条件は、この関数列\(\left\{ g_{i}\right\} \)が先のルベーグ可測関数\(f\)へ各点収束するということ、つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty }g_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

3つ目の条件は、この関数列\(\left\{ g_{i}\right\} \)の要素であるすべての関数の値の絶対値が常に\(f\)の値の絶対値以下であるということ、つまり、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left\vert g_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\vert \leq \left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の主張を単関数による近似定理（simple approximation theorem）と呼びます。

演習問題