ルベーグ可測関数列の上限関数はルベーグ可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。
点\(\boldsymbol{x}\in X\)を選んだ上で固定し、\(\boldsymbol{x}\)に対してそれぞれの関数\(f_{i}\)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\sup \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。
まずは以下の補題を示します。
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義する。\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ -\infty \leq \left( \sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) <c\right\}
=\bigcap\limits_{i=1}^{+\infty }\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ -\infty
\leq f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) <c\right\}
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ -\infty \leq \left( \sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) <c\right\}
=\bigcap\limits_{i=1}^{+\infty }\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ -\infty
\leq f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) <c\right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}-\infty \leq \left( \sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) <c\Leftrightarrow \forall i\in \mathbb{N} :-\infty \leq f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) <c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、関数\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)が定める値が\(c\)より小さいことと、すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が定める値が\(c\)より小さいことは必要十分です。
以上の補題を踏まえた上で以下を示します。
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数である。
\end{equation*}です。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\sup \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ルベーグ可測関数です。
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)は拡大実数値ルベーグ可測関数です。ただし、\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)がルベーグ可測関数であることを意味します。以上より、上に有界なルベーグ可測関数の列\(\left\{ f_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)から定義される上限関数\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)はルベーグ可測関数であることが明らかになりました。
ルベーグ可測関数列の下限関数はルベーグ可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。
点\(\boldsymbol{x}\in X\)を選んだ上で固定し、\(\boldsymbol{x}\)に対してそれぞれの関数\(f_{i}\)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\inf \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。
まずは以下の補題を示します。
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義する。\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ -\infty \leq \left( \inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) <c\right\}
=\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty }\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ -\infty
\leq f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) <c\right\}
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ -\infty \leq \left( \inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) <c\right\}
=\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty }\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ -\infty
\leq f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) <c\right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}-\infty \leq \left( \inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) <c\Leftrightarrow \exists i\in \mathbb{N} :-\infty \leq f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) <c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、関数\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)が定める値が\(c\)より小さいことと、\(f_{1},f_{2},\cdots \)の中の少なくとも1つの関数が定める値が\(c\)より小さいことは必要十分です。
以上の補題を踏まえた上で以下を示します。
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数である。
\end{equation*}です。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\inf \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ルベーグ可測関数です。
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)は拡大実数値ルベーグ可測関数です。ただし、\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)がルベーグ可測関数であることを意味します。以上より、下に有界なルベーグ可測関数の列\(\left\{ f_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)から定義される下限関数\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)はルベーグ可測関数であることが明らかになりました。
ボレル可測関数列の上限関数はボレル可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値ボレル可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。
点\(\boldsymbol{x}\in X\)を選んだ上で固定し、\(\boldsymbol{x}\)に対してそれぞれの関数\(f_{i}\)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\sup \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。
\boldsymbol{x}\right) ,f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数である。
\end{equation*}です。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \sup_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\sup \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ボレル可測関数です。
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)は拡大実数値ボレル可測関数です。ただし、\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)がボレル可測関数であることを意味します。以上より、上に有界なボレル可測関数の列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)から定義される上限関数\(\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)はボレル可測関数であることが明らかになりました。
ボレル可測関数列の下限関数はボレル可測関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする多変数の拡大実数値ボレル可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。
点\(\boldsymbol{x}\in X\)を選んだ上で固定し、\(\boldsymbol{x}\)に対してそれぞれの関数\(f_{i}\)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\inf \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数である。
\end{equation*}です。それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} \)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \inf_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\inf \left\{ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\sup\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、先の命題よりこれは拡大実数値ボレル可測関数です。
\boldsymbol{x}\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数値関数は拡大実数値関数であるため\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも拡大実数値関数です。したがって先の命題より\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)は拡大実数値ボレル可測関数です。ただし、\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)がボレル可測関数であることを意味します。以上より、下に有界なボレル可測関数の列\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)から定義される下限関数\(\inf\limits_{i\in \mathbb{N} }f_{i}\)はボレル可測関数であることが明らかになりました。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】