写像の不動点
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
距離空間\(\left( X,d\right) \)に加えて、定義域と終集合が一致する写像\begin{equation*}f:X\rightarrow X
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。このような写像\(f\)が以下の条件\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) =x
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(f\)に点\(x\)を入力すると同じ点\(x\)が出力される場合には、このような点\(x\)を写像\(f\)の不動点（fixed point）と呼びます。
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}
f\left( A\right) \subset A
\end{equation*}が満たされる場合には、\(f\)の終集合\(X\)を\(A\)に制限して、\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow A
\end{equation*}としても一般性は失われません。\(\left( A,d\right) \)は\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間であり、部分距離空間は距離空間であるため、この場合には\(f\)が\(A\)上に不動点を持つか検討できます。具体的には、\begin{equation*}\exists x\in A:f\left( x\right) =x
\end{equation*}が成り立つ場合、\(x\)は\(f\)の不動点です。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定値写像です。このとき、\begin{equation*}\exists c\in X:f\left( c\right) =c
\end{equation*}が成り立つため、点\(c\)は\(f\)の不動点です。
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等写像です。このとき、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) =x
\end{equation*}が成り立つため、\(X\)上の任意の点が\(f\)の不動点です。この例が示唆するように、写像の不動点は一意的に定まるとは限りません。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\exists 0 &\in &\mathbb{R} :f\left( 0\right) =0 \\
\exists 1 &\in &\mathbb{R} :f\left( 1\right) =1
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(0,1\)はともに\(f\)の不動点です。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1},0\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\forall \left( x_{1},0\right) \in \mathbb{R} ^{2}:f\left( x_{1},0\right) =\left( x_{1},0\right)
\end{equation*}が成り立つため、任意の\(x_{1}\in \mathbb{R} \)について点\(\left( x_{1},0\right) \)は\(f\)の不動点です。
写像は不動点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x<0\right) \\
-1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x<0\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&1\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&x\quad \because x<0
\end{eqnarray*}となるため、\(x\)は\(f\)の不動点ではありません。また、\(x\geq 0\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&-1\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&x\geq 0\quad \because x\geq 0
\end{eqnarray*}となるため、\(x\)は\(f\)の不動点ではありません。以上より、\(f\)の不動点は存在しないことが明らかになりました。
写像は不動点を持つとは限らず、不動点が存在する場合でも一意的に定まるとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件のもとで写像は不動点を持つことを保証できるのでしょうか。バナッハの不動点定理（Banach’s fixed-point theorem）は距離空間上に定義された写像が一意的な不動点を持つための条件を特定するとともに、不動点を特定する方法を教えてくれます。以下で順番に解説します。
縮小写像
距離空間\(\left( X,d\right) \)に加えて、定義域と終集合が一致する写像\begin{equation*}f:X\rightarrow X
\end{equation*}が与えられているものとします。写像\(f\)が定義域\(X\)上においてリプシッツ写像であることは、\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:d\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right) \leq
kd\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。以上の定義中の不等式\begin{equation*}
d\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right) \leq kd\left( x,y\right)
\end{equation*}をリプシッツ不等式と呼び、リプシッツ不等式中の定数\(k\)をリプシッツ定数と呼びます。特に、リプシッツ定数\(k\)が\(1\)より小さい非負の実数である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in X:d\left( f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right) \leq kd\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、このようなリプシッツ写像\(f\)を縮小写像（contraction mapping）と呼び、この場合のリプシッツ定数\(k\)を縮小定数（contraction constant）と呼びます。
\(x=y\)を満たす任意の点\(x,y\in X\)はリプシッツ不等式を満たすため、縮小写像の定義は、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in X:\left[ x\not=y\Rightarrow
d\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right) \leq kd\left( x,y\right) \right]
\end{equation*}と必要十分です。2つの点が異なることと2つの点の間の距離が正であることは必要十分であるため、さらにこれは、\begin{equation*}
\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in X:\left[ x\not=y\Rightarrow \frac{d\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right) }{d\left( x,y\right) }\leq k\right]
\end{equation*}と必要十分です。このとき、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:\left[ x\not=y\Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,f\left(
y\right) \right) <d\left( x,y\right) \right]
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、縮小写像\(f\)に2つの異なる点\(x,y\)を入力すると、出力される2つの点\(f\left( x\right) ,f\left(y\right) \)の間の距離（左辺）は、出力した2つの点\(x,y\)の間の距離（右辺）よりも必ず短くなることを意味します。以上が縮小写像という名称の由来です。
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}
f\left( A\right) \subset A
\end{equation*}が満たされる場合には、\(f\)の終集合\(X\)を\(A\)に制限して、\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow A
\end{equation*}としても一般性は失われません。\(\left( A,d\right) \)は\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間であり、部分距離空間は距離空間であるため、この場合には\(f\)が\(A\)上において縮小写像であるか検討できます。具体的には、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in A:d\left( f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right) \leq kd\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は\(A\)上の縮小写像です。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定値写像です。点\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right) &=&d\left( c,c\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&0\cdot d\left( x,y\right) \quad \because \text{距離の非負性}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は縮小定数が\(0\)の縮小写像であることが明らかになりました。
\end{equation*}と定めます。複数の要素を持つ区間上に定義された写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において微分可能であるとともに、導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上で有界であり、さらに、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x\in I:\left\vert \frac{df\left(
x\right) }{dx}\right\vert \leq k
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(I\)上において縮小写像になります（演習問題）。
\end{equation*}と定めます。写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上において微分可能であるとともに、導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上で有界であり、さらに、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x\in \mathbb{R} :\left\vert \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert \leq k
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において縮小写像になります。
バナッハの不動点定理
距離空間\(\left( X,d\right) \)に加えて、定義域と終集合が一致する写像\begin{equation*}f:X\rightarrow X
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、この写像\(f\)は以下の2つの条件を満たすものとします。
1つ目の条件は、\(f\)の定義域\(X\)が完備な距離空間であるということです。つまり、\(X\)上の任意のコーシー列が\(X\)の点へ収束する状況を想定します。
2つ目の条件は、\(f\)が\(X\)上において縮小写像であるということです。つまり、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in X:d\left( f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right) \leq kd\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。
以上の2つの条件が満たされる場合、\(f\)が\(X\)上に不動点を持つことが保証されるとともに、その不動点は一意的に定まります。以上がバナッハの不動点定理（Banach’sfixed-point theorem）の主張です。
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}
f\left( A\right) \subset A
\end{equation*}が満たされる場合には、\(f\)の終集合\(X\)を\(A\)に制限して、\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow A
\end{equation*}としても一般性は失われません。\(A\)が\(X\)上の完備部分集合であるとともに\(f\)が\(A\)上の縮小写像である場合には、先の命題より\(f\)は\(A\)上に一意的な不動点を持ちます。
\end{equation*}と定めます。複数の要素を持つ区間上に定義された写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において微分可能であるとともに、導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上で有界であり、さらに、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x\in I:\left\vert \frac{df\left(
x\right) }{dx}\right\vert \leq k
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(I\)上において縮小写像になります。さらに、\(I\)が\(\mathbb{R} \)上の完備部分集合であるとともに以下の条件\begin{equation*}f\left( I\right) \subset I
\end{equation*}が成り立つ場合には、終集合\(\mathbb{R} \)を区間\(I\)に制限した写像\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow I
\end{equation*}は先の命題が要求する条件を満たすため、\(f\)は\(I\)上に一意的な不動点を持ちます。
\end{equation*}と定めます。写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上において微分可能であるとともに、導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上で有界であり、さらに、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x\in \mathbb{R} :\left\vert \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert \leq k
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において縮小写像になります。\(\mathbb{R} \)は完備距離空間であるため、先の命題より、この場合には\(f\)は\(\mathbb{R} \)上に一意的な不動点を持ちます。
バナッハの不動点定理が要求する条件の吟味
バナッハの不動点定理は写像\(f:X\rightarrow X\)に対して3つの条件を要求しています。1つ目は\(f\)の定義域\(X\)が完備距離空間であること、2つ目は\(f\)が\(X\)上において縮小写像であること、3つ目は\(f\)の定義域と終集合が同一の距離空間\(X\)であることです。\(f\)が\(X\)上に一意的な不動点を持つことを保証する上で、これらの条件はいずれも必須でしょうか。順番に考えます。
まずは、写像\(f\)が縮小写像ではない例を挙げます。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は完備距離空間である一方で、\(f\)は縮小写像ではありません。実際、\(x\not=y\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert
&=&\left\vert \frac{\left( y+1\right) -\left( x+1\right) }{y-x}\right\vert
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \frac{y-x}{y-x}\right\vert \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert \leq k
\end{equation*}を満たす\(k\in \left[ 0,1\right) \)は存在せず、ゆえに\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で縮小写像ではありません。以上の議論より、この写像\(f\)は縮小関数の不動点定理が要求する条件を満たさないことが明らかになりました。加えて、この写像\(f\)は\(\mathbb{R} \)上に不動点を持ちません。実際、\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) -x &=&\left( x+1\right) -x\quad \because f\text{の定義} \\
&=&1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) \not=x
\end{equation*}となるため、\(\mathbb{R} \)上の任意の点は\(f\)の不動点ではありません。
続いて、写像\(f\)の定義域が完備距離空間ではない例を挙げます。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) =\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}を満たすため、\(f\)の終集合を値域に制限して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}としても一般性は失われません。\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の縮小関数です。実際、縮小定数の候補として、\begin{equation*}k=\frac{1}{2}
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
\frac{y}{2}-\frac{x}{2}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right)
\right\vert \leq \frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で縮小関数です。その一方で、\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上の完備部分集合ではありません。以上の議論より、この写像\(f\)は縮小関数の不動点定理が要求する条件を満たさないことが明らかになりました。加えて、この写像\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に不動点を持ちません。実際、\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) -x &=&\frac{x}{2}-x \\
&=&-\frac{x}{2} \\
&\not=&0\quad \because x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) \not=x
\end{equation*}となるため、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点は\(f\)の不動点ではありません。
最後に、定義域と終集合が一致しない写像\(f\)の例を挙げます。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 1,+\infty \right) \)上の縮小写像であり、\(\left[1,+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の完備部分集合です。その一方で、\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \left[ 1,+\infty \right) \right) =\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)
\end{equation*}であるため、\(f\)の値域を\(\left[ 1,+\infty \right) \)に制限して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \left[ 1,+\infty \right)
\end{equation*}とすることはできません。\begin{equation*}
f\left( \left[ 1,+\infty \right) \right) \subset \left[ 1,+\infty \right)
\end{equation*}が成り立ちません。以上の議論より、この写像\(f\)は縮小関数の不動点定理が要求する条件を満たさないことが明らかになりました。加えて、この写像\(f\)は\(\left[ 1,+\infty \right) \)上に不動点を持ちません。
不動点反復法（逐次近似法）
距離空間\(\left( X,d\right) \)および写像\(f:X\rightarrow X\)が与えられているものとします。\(X\)が完備距離空間であるとともに\(f\)が\(X\)上の縮小写像であるものとします。縮小写像の定義より、\begin{equation}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in X:d\left( f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right) \leq kd\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上の条件が満たされる場合、バナッハの不動点定理より、\(f\)は\(X\)上に一意的な不動点を持ちます。
点\(x_{0}\in X\)を任意に選んだ上で固定します。\(f\left(x_{0}\right) \in X\)ですが、\begin{equation*}x_{0}=f\left( x_{0}\right)
\end{equation*}の場合には\(x_{0}\)が\(f\)の不動点になります。そこで以降では、\begin{equation}x_{0}\not=f\left( x_{0}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}の場合について考えます。\(f\left( x_{0}\right) \in X\)であるため、\begin{equation*}x_{1}=f\left( x_{0}\right) \in X
\end{equation*}と定義します。\(f\left(x_{1}\right) \in X\)であるため、\begin{equation*}x_{2}=f\left( x_{1}\right) \in X
\end{equation*}と定義します。同様のプロセスを繰り返すことにより、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}=f\left( x_{n-1}\right) \in X \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)を再帰的に定義できます。以上の要領で定義された点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を\(f\)のもとでの点\(x_{0}\in X\)の反復点列（sequence of iterates of \(x_{0}\) under \(f\)）と呼びます。
バナッハの不動点定理の証明において明らかにしたように、点\(x_{0}\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)のもとでの\(x_{0}\)の反復点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(X\)上の点へ収束するとともに、その極限は\(f\)の不動点と一致します。
写像\(f:X\rightarrow X\)の定義域\(X\)が完備な距離空間であるとともに、\(f\)が\(X\)上の縮小写像であるものとします。点\(x_{0}\in X\)を任意に選んだとき、反復点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項は、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&f\left( x_{0}\right) \\
x_{2} &=&f\left( x_{1}\right) =f\left( f\left( x_{0}\right) \right) \\
x_{3} &=&f\left( x_{2}\right) =f\left( f\left( f\left( x_{0}\right) \right)
\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}として得られますが、先の命題より、この点列の極限は\(f\)の不動点と一致します。このような事情を踏まえた上で、反復点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項を具体的に特定することにより\(f\)の不動点の近似値を求める手法を不動点反復法（fixed-pointiteration）や反復法（iteration）、もしくは逐次近似法（successive approximation）などと呼びます。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は完備距離空間です。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めます。したがって、\begin{equation*}
\exists \frac{1}{2}\in \lbrack 0,1),\ \forall x\in \mathbb{R} :\left\vert \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert \leq \frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の縮小写像です。以上より、\(f\)はバナッハの不動点定理が要求する条件を満たすことが明らかになりました。したがって、点\(x_{0}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)のもとでの\(x_{0}\)の反復点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(f\)の不動点へ縮小します。点\(10\in \mathbb{R} \)に注目した場合の反復点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&f\left( x_{0}\right) =f\left( 10\right) =5 \\
x_{2} &=&f\left( x_{1}\right) =f\left( 5\right) =\frac{5}{2} \\
x_{3} &=&f\left( x_{2}\right) =f\left( \frac{5}{2}\right) =\frac{5}{4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は初項が\(5\)であり公比が\(\frac{1}{2}\)であるような等比数列であるため、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(f\)の不動点は\(0\)です。実際、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&\frac{0}{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}と定めます。複数の要素を持つ区間上に定義された写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において微分可能であるとともに、導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)有界であり、さらに、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x\in I:\left\vert \frac{df\left(
x\right) }{dx}\right\vert \leq k
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(I\)上において縮小写像になることを示してください。
\end{equation*}が\(X\)上の縮小写像であるものとします。以上の条件が満たされる場合には、\(f\)は\(X\)上に不動点を持つことを証明してください。
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