距離空間上の写像の連続性と一様連続性の関係

距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとする。\(f\)が定義域\(A\)上で一様連続であるならば、\(f\)は\(A\)上で連続である。

距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられているものとします。\(f\)が定義域\(X\)上で一様連続であるならば、先の命題より、\(f\)は\(X\)上で連続です。

実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(c\not=0\)を満たす定数\(c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =cx+d
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は1次の多項式関数、すなわち1次関数です。この写像が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert \left(
cx+d\right) -\left( ca+d\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert c\left(
x-a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{\left\vert c\right\vert }>0\quad \because c\not=0
\quad \cdots (1)
\end{equation}をとれば、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(a\in \mathbb{R} \)および\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert c\left( x-a\right) \right\vert &=&\left\vert c\right\vert
\left\vert x-a\right\vert \\
&<&\left\vert c\right\vert \delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert c\right\vert \frac{\varepsilon }{\left\vert c\right\vert }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。すると先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。実際、\(f\)は多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。

2次元ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{2}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{2}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ d_{2}\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow d_{2}\left( f\left( x,y\right) ,f\left( a,b\right) \right)
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)および\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2} &\leq &\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}
\\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。同様に、\begin{equation}
\left\vert y-b\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}が導かれます。したがってこのとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert &=&\left\vert
\left( x-a\right) +\left( y-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-a\right\vert +\left\vert y-b\right\vert \\
&<&\delta +\delta \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&2\delta \\
&=&2\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。すると先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。実際、\(f\)は多項式関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。

実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。その一方で、この写像\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で一様連続ではないことを示します。具体的には、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \wedge \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \wedge \left\vert
x^{2}-a^{2}\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。そこで、\begin{equation}
\varepsilon =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\begin{eqnarray}a &=&\frac{1}{\delta } \quad \cdots (2) \\
x &=&a+\frac{\delta }{2} \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}をとると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-a\right\vert &=&\left\vert \left( a+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{\delta }\right\vert \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right)
\\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{\delta }\right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert \frac{\delta }{2}\right\vert \\
&<&\delta \quad \because \delta >0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-a^{2}\right\vert &=&\left\vert \left( a+\frac{\delta }{2}\right) ^{2}-\left( \frac{1}{\delta }\right) ^{2}\right\vert \quad \because
\left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) ^{2}-\left(
\frac{1}{\delta }\right) ^{2}\right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert 1+\frac{\delta ^{2}}{4}\right\vert \\
&=&1+\frac{\delta ^{2}}{4}\quad \because \delta >0 \\
&>&1 \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとする。\(f\)の定義域\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるとともに\(f\)が\(A\)上で連続であるならば、\(f\)は\(A\)上で一様連続である。

距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられているものとします。\(X\)がコンパクト距離空間であるとともに\(f\)が\(X\)上の連続写像である場合には、先の命題より\(f\)は\(X\)上の一様連続写像です。

実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることと\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合であることは必要十分です。したがって、\(f\)の定義域\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合であるとともに\(f\)が\(A\)上の連続写像である場合には、先の命題より\(f\)は\(A\)上の一様連続写像になります。

実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。また、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d_{n}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であることと\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合であることは必要十分です。したがって、\(f\)の定義域\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合であるとともに\(f\)が\(A\)上の連続写像である場合には、先の命題より\(f\)は\(A\)上の一様連続写像になります。

実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
X=\mathbb{R} \end{equation*}である場合、\(f\)は\(X\)上で連続である一方で一様連続ではないことは先に示した通りです。実際、\(\mathbb{R} \)は有界ではなく、したがってコンパクト集合ではないため、たとえ\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続であっても先の命題を利用できず、したがって\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であると言えません。では、\(f\)の定義域を有界閉区間\begin{equation*}X=\left[ a,b\right] \end{equation*}に変更した場合にはどうでしょうか。ただし、\(a<b\)です。\(f\)は多項式関数であるため、新たな定義域\(X\)上においても連続です。加えて、新たな定義域である有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。したがって、先の命題より、\(f\)は新たな定義域\(X\)上で一様連続です。

実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。その上で、それぞれの\(x\in \left(a,b\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定める写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないものの、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で一様連続です（演習問題）。

実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。その上で、それぞれの\(x\in \left(a,b\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定める写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が\(\left(a,b\right) \)上で一様連続であることを示してください。

距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとします。本文中で示したように、\(f\)の定義域\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるとともに\(f\)が\(A\)上で連続である場合には、\(f\)は\(A\)上で一様連続です。では、以下の主張もまた成り立つでしょうか。成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。

1. \(f\)の定義域\(A\)が\(X\)上の有界集合であるとともに\(f\)が\(A\)上で連続である場合には、\(f\)は\(A\)上で一様連続である。
2. \(f\)の定義域\(A\)が\(X\)上の全有界集合であるとともに\(f\)が\(A\)上で連続である場合には、\(f\)は\(A\)上で一様連続である。
3. 部分距離空間\(\left( A,d_{X}\right) \)が完備距離空間であるとともに\(f\)が\(A\)上で連続である場合には、\(f\)は\(A\)上で一様連続である。
4. \(f\)の定義域\(A\)が\(X\)上の全有界集合であるとともに部分距離空間\(\left( A,d_{X}\right) \)が完備距離空間であり、なおかつ\(f\)が\(A\)上で連続である場合には、\(f\)は\(A\)上で一様連続である。