写像の最大値
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、その最大値\(\max A\)とは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A:x\leq \max A
\end{eqnarray*}を満たす実数として定義されます。つまり、\(A\)の最大値とは\(A\)の任意の要素以上であるような\(A\)の要素です。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left( \mathbb{R} ,d\right) \)および写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。つまり、この写像は距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在するそれぞれの点\(x\in A\)を実数\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)へ変換する写像です。この写像\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最大値\begin{equation*}\max f\left( A\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。これを写像\(f\)の\(A\)における最大値（maximum value of a mapping \(f\) on \(A\)）と呼びます。定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists x\in A:f\left( x\right) =\max f\left( A\right)
\\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A:f\left( x\right) \leq \max f\left(
A\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
A=\left[ -1,1\right] \end{equation*}である場合の\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -1,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,2\right] \end{eqnarray*}であるため、\(f\)の\(\left[ -1,1\right] \)における最大値は\(2\)です。一方、定義域が、\begin{equation*}A=\mathbb{R} \end{equation*}である場合の\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)の\(\mathbb{R} \)における最大値は存在しません。この例が示唆するように、写像\(f\)の最大値は定義域に依存して変化しますし、そもそも最大値は存在するとは限りません。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
A=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}である場合の\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{
f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \wedge y\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+y\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \wedge y\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,2\right] \end{eqnarray*}であるため、\(f\)の\(\left[ 0,1\right]\times \left[ 0,1\right] \)における最大値は\(2\)です。一方、定義域が、\begin{equation*}A=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}である場合の\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x+y\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であるため、\(f\)の\(\mathbb{R} \)における最大値は存在しません。この例が示唆するように、写像\(f\)の最大値は定義域に依存して変化しますし、そもそも最大値は存在するとは限りません。
写像の最小値
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、その最小値\(\min A\)とは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \min A\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A:\min A\leq x
\end{eqnarray*}を満たす実数として定義されます。つまり、\(A\)の最小値とは\(A\)の任意の要素以下であるような\(A\)の要素です。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left( \mathbb{R} ,d\right) \)および写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。つまり、この写像は距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在するそれぞれの点\(x\in A\)を実数\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)へ変換する写像です。この写像\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最小値\begin{equation*}\min f\left( A\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。これを写像\(f\)の\(A\)における最小値（minimum value of a mapping \(f\) on \(A\)）と呼びます。定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists x\in A:f\left( x\right) =\min f\left( A\right)
\\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A:\min f\left( A\right) \leq f\left(
x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}+1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
A=\left[ -1,1\right] \end{equation*}である場合の\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -1,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ -x^{2}+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}であるため、\(f\)の\(\left[ -1,1\right] \)における最小値は\(0\)です。一方、定義域が、\begin{equation*}A=\mathbb{R} \end{equation*}である場合の\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ -x^{2}+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&(-\infty ,1] \end{eqnarray*}であるため、\(f\)の\(\mathbb{R} \)における最小値は存在しません。この例が示唆するように、写像\(f\)の最小値は定義域に依存して変化しますし、そもそも最小値は存在するとは限りません。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x-y
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
A=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}である場合の\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{
f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \wedge y\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ -x-y\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \wedge y\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}であるため、\(f\)の\(\left[ 0,1\right]\times \left[ 0,1\right] \)における最小値は\(-2\)です。一方、定義域が、\begin{equation*}A=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}である場合の\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ -x-y\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であるため、\(f\)の\(\mathbb{R} \)における最小値は存在しません。この例が示唆するように、写像\(f\)の最小値は定義域に依存して変化しますし、そもそも最小値は存在するとは限りません。
最大値・最小値の定理
先に例を通じて確認したように、写像\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(A\)において最大値や最小値を持つとは限りません。では、どのような条件のもとで\(f\)の最大値や最小値は存在するのでしょうか。順番に解説します。
連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合であるため、写像\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるとともに、写像\(f\)が定義域\(A\)上において連続である場合には、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になります。したがって、\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合が最大値と最小値を持つことを示せれば、\(f\left( A\right) \)の最大値と最小値が存在することになり、したがって\(f\)は\(A\)上において最大値と最小値を持つことになります。そこでまずは以下の命題を示します。
\end{equation*}と定めるものとする。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} \)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるならば、その最大値\(\max A\)と最小値\(\min A\)が存在する。
以上の命題を踏まえると以下が導かれます。これを最大値・最小値の定理（extreme value theorem）と呼びます。
\end{equation*}と定めるものとする。\(f\)が\(A\)上の連続写像であるとともに、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるならば、\(\max f\left(A\right) \)と\(\min f\left( A\right) \)がともに存在する。
\end{equation*}と定めます。写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(A\)上の連続写像であるとともに、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるならば、先の命題より\(\max f\left( A\right) \)と\(\min f\left(A\right) \)がともに存在します。
x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(A\)上の連続写像であるとともに、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるならば、先の命題より\(\max f\left( A\right) \)と\(\min f\left(A\right) \)がともに存在します。
最大値・最小値の定理が要求する条件の吟味
最大値・最小値の定理はコンパクト集合上に定義された写像\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(A\)上において連続であることを条件として要求しています。最大値・最小値の定理の主張が成り立つことを担保する上でこれらの条件は必須なのでしょうか。順番に考えます。
写像\(f\)の定義域\(A\)上において連続ではない場合、\(f\)は\(A\)上において最大値や最小値をとるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。以下のグラフを持つ写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。
この写像\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で連続である一方で、点\(a\)において右側連続ではなく、点\(b\)において左側連続ではないため\(\left[ a,b\right] \)上で連続ではなく、したがって最大値・最小値の定理を利用できません。実際、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において最大値や最小値を持ちません。
\end{equation*}と定めます。以下のグラフを持つ写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。
この写像\(f\)は点\(c\)において右側連続ですが左側連続ではなく、したがって連続ではありません。つまり\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続ではないため、最大値・最小値の定理を利用できません。実際、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において最大値を持ちません。
写像\(f\)が定義域\(A\)が距離空間\(X\)上のコンパクト集合ではない場合、\(f\)は\(A\)上において最大値や最小値をとるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数であるため連続である一方で、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないためコンパクト集合でもありません。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は\(\left(0,1\right) \)上において最大値や最小値をとりません。
演習問題
\end{equation*}と定めるものとします。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} \)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるならば、その最小値\(\min A\)が存在することを証明してください。
\end{equation*}と定義されます。以下の問いに答えてください。
- 点\(a\in X\)と非空の集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}d\left( a,A\right) =0\Leftrightarrow a\in A^{a}\end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包です。
- 点\(a\in X\)と非空の集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\(A\)が\(X\)上の閉集合であるとともに\(a\not\in A\)である場合には、\begin{equation*}d\left( a,A\right) >0\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
- 点\(a\in X\)と非空の集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合には、\begin{equation*}\exists x_{0}\in A:d\left( a,x_{0}\right) =d\left( a,A\right) \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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