リプシッツ写像
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。このような写像\(f\)が以下の条件\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in A:d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right)
\leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は定義域\(A\)上でリプシッツ写像である（Lipschitz mapping on \(A\)）であるとかリプシッツ連続である（Lipschitz continuous on \(A\)）などと言います。また、定義中の不等式\begin{equation*}d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right) \leq kd_{X}\left(
x,y\right)
\end{equation*}をリプシッツ不等式（Lipschitz inequality）と呼び、リプシッツ不等式中の定数\(k\)をリプシッツ定数（Lipschitz constant）と呼びます。
改めて整理すると、写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)がリプシッツ写像であることは、\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in A:d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right)
\leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、距離の非負性を踏まえるとリプシッツ定数\(k\)は非負になることが確定します。さらに、\(x=y\)を満たす任意の点\(x,y\in A\)はリプシッツ不等式を満たすため、先の命題は、\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} _{+},\ \forall x,y\in A:\left[ x\not=y\Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( y\right) \right) \leq kd_{X}\left( x,y\right) \right]
\end{equation*}と必要十分です。2つの点が異なることと2つの点の間の距離が正であることは必要十分であるため、さらにこれは、\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{R} _{+},\ \forall x,y\in A:\left[ x\not=y\Rightarrow \frac{d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( y\right) \right) }{d_{X}\left( x,y\right) }\leq k\right]
\end{equation*}と必要十分です。
命題（リプシッツ写像の定義）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとする。以下の条件\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} _{+},\ \forall x,y\in A:\left[ x\not=y\Rightarrow \frac{d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( y\right) \right) }{d_{X}\left( x,y\right) }\leq k\right] \end{equation*}が成り立つことと、\(f\)が\(A\)上でリプシッツ写像であることは必要十分である。
x\right) ,f\left( y\right) \right) }{d_{X}\left( x,y\right) }\leq k\right] \end{equation*}が成り立つことと、\(f\)が\(A\)上でリプシッツ写像であることは必要十分である。
例（リプシッツ写像）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられているものとします。\(f\)が\(X\)上においてリプシッツ写像であることは、\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right)
\leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。先の議論より、以上の定義は、\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{R} _{+},\ \forall x,y\in X:\left[ x\not=y\Rightarrow \frac{d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( y\right) \right) }{d_{X}\left( x,y\right) }\leq k\right] \end{equation*}と必要十分です。
\leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。先の議論より、以上の定義は、\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{R} _{+},\ \forall x,y\in X:\left[ x\not=y\Rightarrow \frac{d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( y\right) \right) }{d_{X}\left( x,y\right) }\leq k\right] \end{equation*}と必要十分です。
例（縮小写像）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow X\)が与えられているものとします。\(f\)が\(X\)上においてリプシッツ写像であることは、\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:d_{X}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right)
\leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。特に、リプシッツ定数\(k\)が\(1\)より小さい非負の実数である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in X:d_{X}\left( f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right) \leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、このようなリプシッツ写像\(f\)を縮小写像（contraction mapping）と呼び、この場合のリプシッツ定数\(k\)を縮小定数（contraction constant）と呼びます。先の議論より、以上の定義は、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in X:\left[ x\not=y\Rightarrow \frac{d_{X}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right) }{d_{X}\left(
x,y\right) }\leq k\right] \end{equation*}と必要十分です。このとき、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:\left[ x\not=y\Rightarrow d_{X}\left( f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right) <d_{X}\left( x,y\right) \right] \end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、縮小写像\(f\)に2つの異なる点\(x,y\)を入力すると、出力される2つの点\(f\left( x\right) ,f\left(y\right) \)の間の距離（左辺）は、出力した2つの点\(x,y\)の間の距離（右辺）よりも必ず短くなることを意味します。以上が縮小写像という名称の由来です。
\leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。特に、リプシッツ定数\(k\)が\(1\)より小さい非負の実数である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in X:d_{X}\left( f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right) \leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、このようなリプシッツ写像\(f\)を縮小写像（contraction mapping）と呼び、この場合のリプシッツ定数\(k\)を縮小定数（contraction constant）と呼びます。先の議論より、以上の定義は、\begin{equation*}\exists k\in \lbrack 0,1),\ \forall x,y\in X:\left[ x\not=y\Rightarrow \frac{d_{X}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right) }{d_{X}\left(
x,y\right) }\leq k\right] \end{equation*}と必要十分です。このとき、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:\left[ x\not=y\Rightarrow d_{X}\left( f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right) <d_{X}\left( x,y\right) \right] \end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、縮小写像\(f\)に2つの異なる点\(x,y\)を入力すると、出力される2つの点\(f\left( x\right) ,f\left(y\right) \)の間の距離（左辺）は、出力した2つの点\(x,y\)の間の距離（右辺）よりも必ず短くなることを意味します。以上が縮小写像という名称の由来です。
例（等長写像）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられているものとします。\(f\)が等長写像であることは、\begin{equation*}\forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) =d_{Y}\left( f\left( x\right)
,f\left( y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは\(f\)がリプシッツ定数\(1\)のリプシッツ写像であることを意味します。つまり、等長写像はリプシッツ定数\(1\)のリプシッツ写像です。
,f\left( y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは\(f\)がリプシッツ定数\(1\)のリプシッツ写像であることを意味します。つまり、等長写像はリプシッツ定数\(1\)のリプシッツ写像です。
例（リプシッツ写像）
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この写像が\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像であることを示します。リプシッツ定数の候補として、\begin{equation*}k=1
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
c-c\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert 0\right\vert \\
&=&0 \\
&\leq &\left\vert y-x\right\vert \\
&\leq &1\left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq 1\left\vert
y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像です。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この写像が\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像であることを示します。リプシッツ定数の候補として、\begin{equation*}k=1
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
c-c\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert 0\right\vert \\
&=&0 \\
&\leq &\left\vert y-x\right\vert \\
&\leq &1\left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq 1\left\vert
y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像です。
例（リプシッツ写像）
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(c\not=0\)を満たす定数\(c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =cx+d
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は1次の多項式関数、すなわち1次関数です。この写像が\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像であることを示します。リプシッツ定数の候補として、\begin{equation*}k=\left\vert c\right\vert
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
\left( cy+d\right) -\left( cx+d\right) \right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert c\left( y-x\right) \right\vert \\
&=&\left\vert c\right\vert \left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq \left\vert
c\right\vert \left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像です。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(c\not=0\)を満たす定数\(c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =cx+d
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は1次の多項式関数、すなわち1次関数です。この写像が\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像であることを示します。リプシッツ定数の候補として、\begin{equation*}k=\left\vert c\right\vert
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
\left( cy+d\right) -\left( cx+d\right) \right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert c\left( y-x\right) \right\vert \\
&=&\left\vert c\right\vert \left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq \left\vert
c\right\vert \left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像です。
例（リプシッツ写像）
2次元ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{2}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{2}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上でリプシッツ写像であることを示します。点\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left(x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( f\left( x_{1},y_{1}\right) ,f\left( x_{2},y_{2}\right) \right)
&=&\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},y_{1}\right)
\right\vert \quad \because d_{1}\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( x_{2}+y_{2}\right) -\left( x_{1}+y_{1}\right)
\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( x_{2}-x_{1}\right) +\left( y_{2}-y_{1}\right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert +\left\vert y_{2}-y_{1}\right\vert
\\
&=&\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&\leq &\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&\leq &2\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}
\\
&=&2d_{2}\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left( x_{1},y_{1}\right) \right)
\quad \because d_{2}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\exists 2\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:d_{1}\left( f\left( x_{1},y_{1}\right) ,f\left( x_{2},y_{2}\right)
\right) \leq 2d_{2}\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left(
x_{1},y_{1}\right) \right)
\end{equation*}が示されたため、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上においてリプシッツ写像であることが明らかになりました。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上でリプシッツ写像であることを示します。点\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left(x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( f\left( x_{1},y_{1}\right) ,f\left( x_{2},y_{2}\right) \right)
&=&\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},y_{1}\right)
\right\vert \quad \because d_{1}\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( x_{2}+y_{2}\right) -\left( x_{1}+y_{1}\right)
\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( x_{2}-x_{1}\right) +\left( y_{2}-y_{1}\right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert +\left\vert y_{2}-y_{1}\right\vert
\\
&=&\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&\leq &\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&\leq &2\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}
\\
&=&2d_{2}\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left( x_{1},y_{1}\right) \right)
\quad \because d_{2}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\exists 2\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:d_{1}\left( f\left( x_{1},y_{1}\right) ,f\left( x_{2},y_{2}\right)
\right) \leq 2d_{2}\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left(
x_{1},y_{1}\right) \right)
\end{equation*}が示されたため、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上においてリプシッツ写像であることが明らかになりました。
写像はリプシッツ写像であるとは限らない
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が\(A\)上でリプシッツ写像であることは、\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in A:d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right)
\leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、\(f\)が\(A\)上でリプシッツ写像ではないことは、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \exists x,y\in A:d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right)
>kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
写像はリプシッツ写像であるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（リプシッツ写像ではない写像）
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この写像が\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像ではないことを示します。以下の命題\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \exists x,y\in \mathbb{R} :\left\vert f\left( x\right) -f\left( y\right) \right\vert >k\left\vert
x-y\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{R} ,\ \exists x,y\in \mathbb{R} :\left\vert x^{2}-y^{2}\right\vert >k\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標です。\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(k\leq 0\)の場合には明らかに主張が成り立つため以降では\(k>0\)の場合について考えます。以下の点\begin{eqnarray*}x &=&k\in \mathbb{R} \\
y &=&k+1\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-y^{2}\right\vert &=&\left\vert k^{2}-\left( k+1\right)
^{2}\right\vert \\
&=&\left\vert -2k-1\right\vert \\
&=&\left\vert 2k+1\right\vert \\
&=&2k+1\quad \because k>0
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
k\left\vert x-y\right\vert &=&k\left\vert k-\left( k+1\right) \right\vert
\\
&=&k\left\vert -1\right\vert \\
&=&k
\end{eqnarray*}ですが、\(k>0\)ゆえに\begin{equation*}2k+1>k
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert x^{2}-y^{2}\right\vert >k\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を得ます。したがって証明が完了しました。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この写像が\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ写像ではないことを示します。以下の命題\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \exists x,y\in \mathbb{R} :\left\vert f\left( x\right) -f\left( y\right) \right\vert >k\left\vert
x-y\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{R} ,\ \exists x,y\in \mathbb{R} :\left\vert x^{2}-y^{2}\right\vert >k\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標です。\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(k\leq 0\)の場合には明らかに主張が成り立つため以降では\(k>0\)の場合について考えます。以下の点\begin{eqnarray*}x &=&k\in \mathbb{R} \\
y &=&k+1\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-y^{2}\right\vert &=&\left\vert k^{2}-\left( k+1\right)
^{2}\right\vert \\
&=&\left\vert -2k-1\right\vert \\
&=&\left\vert 2k+1\right\vert \\
&=&2k+1\quad \because k>0
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
k\left\vert x-y\right\vert &=&k\left\vert k-\left( k+1\right) \right\vert
\\
&=&k\left\vert -1\right\vert \\
&=&k
\end{eqnarray*}ですが、\(k>0\)ゆえに\begin{equation*}2k+1>k
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert x^{2}-y^{2}\right\vert >k\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を得ます。したがって証明が完了しました。
演習問題
問題（リプシッツ定数の範囲）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとします。加えて、\(f\)は\(A\)上においてリプシッツ定数が\(k\in \mathbb{R} \)であるようなリプシッツ写像であるものとします。\(l\geq k\)を満たす\(l\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(A\)上においてリプシッツ定数が\(l\)であるようなリプシッツ写像であることを証明してください。
問題（集合との距離を定める写像）
距離空間\(\left( X,d\right) \)および非空の閉集合\(A\subset X\)が与えられた状況を想定します。その上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =d\left( x,A\right)
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ただし、この写像の終集合は実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。この写像\(f\)が\(X\)上のリプシッツ写像であることを示してください。
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ただし、この写像の終集合は実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。この写像\(f\)が\(X\)上のリプシッツ写像であることを示してください。
問題（逆写像とリプシッツ写像）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられているものとします。さらに、以下の条件\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} _{++},\ \forall x,y\in X:d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right)
\right) \geq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。以下の問いに答えてください。
\right) \geq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。以下の問いに答えてください。
- \(f:X\rightarrow Y\)が単射であることを示してください。
- 問1より\(f:X\rightarrow f\left( X\right) \)は全単射であるため逆写像\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在します。そこで、\(f^{-1}\)がリプシッツ写像であることを示してください。
- \(f\left( Y\right) \)が\(Y\)上の開集合である場合には、\(f\)は\(X\)上の任意の開集合を\(Y\)上の開集合へ移すこと、すなわち、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( X\right) :f\left( A\right) \in \mathcal{O}\left( Y\right) \end{equation*}が成り立つことを示してください。
問題（区間上に定義された1変数関数がリプシッツ関数であることの判定）
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。複数の要素を持つ区間上に定義された写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において微分可能であるとともに、導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において有界である場合には、\(f\)は\(I\)上においてリプシッツ写像であることを証明してください。
\end{equation*}と定めます。複数の要素を持つ区間上に定義された写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において微分可能であるとともに、導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(I\)上において有界である場合には、\(f\)は\(I\)上においてリプシッツ写像であることを証明してください。
問題（リプシッツ写像）
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\mathbb{R} \)上においてリプシッツ写像であることを示してください。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\mathbb{R} \)上においてリプシッツ写像であることを示してください。
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