距離空間上の写像の絶対値（ノルム）の極限

実数値をとる写像の絶対値の極限

距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

さらに、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)が与えられているものとします。ただし、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対値にもとづく通常の距離関数であり、2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。この場合、\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間になります。

以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}へ変換する写像です。

写像\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert f\left( x\right)
\right\vert
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に写像\(f\)が\(\mathbb{R} \)上の点へ収束する状況を想定します。この場合、写像\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =\left\vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、有限な実数へ収束する実数値写像\(f\)の絶対値の形をしている実数値写像\(\left\vert f\right\vert \)が与えられたとき、\(\left\vert f\right\vert \)もまた有限な実数へ収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限の絶対値をとれば\(\left\vert f\right\vert \)の極限が得られます。したがって、何らかの実数値写像\(f\)の絶対値の形をしている実数値写像\(\left\vert f\right\vert \)の収束可能性を検討する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。

複素数値をとる写像の絶対値の極限

距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

さらに、複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d_{1}\right) \)が与えられているものとします。ただし、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{1}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。ただし、\(\mathrm{Re}\left( x\right) \)は複素数\(x\)の実部であり、\(\mathrm{Im}\left(x\right) \)は複素数\(x\)の虚部です。この場合、\(\left( \mathbb{C} ,d_{1}\right) \)は距離空間になります。

以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d_{1}\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}を定義します。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{equation*}f\left( x\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}へ変換する写像です。

写像\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) &=&\left\vert f\left( x\right)
\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( f\left( x\right) \right) \right] ^{2}+\left[
\mathrm{Im}\left( f\left( x\right) \right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\(\left\vert f\right\vert \)の終集合\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。

写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に写像\(f\)が\(\mathbb{C} \)上の点へ収束する状況を想定します。この場合、写像\(\left\vert f\right\vert \)は\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =\left\vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、複素数へ収束する複素数値写像\(f\)の絶対値の形をしている実数値写像\(\left\vert f\right\vert \)が与えられたとき、\(\left\vert f\right\vert \)は実数値へ収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限の絶対値をとれば\(\left\vert f\right\vert \)の極限が得られます。したがって、何らかの複素数値関数\(f\)の絶対値の形をしている実数値写像\(\left\vert f\right\vert \)の収束可能性を検討する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。

ベクトル値をとる写像のノルムの極限

距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

さらに、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)が与えられているものとします。ただし、ユークリッド距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。この場合、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d_{1}\right) \)は距離空間になります。

以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合がユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d_{1}\right) \)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}へ変換する写像です。

写像\(\boldsymbol{f}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( x\right) &=&\left\Vert
\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ f_{n}\left(
x\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)の終集合\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。

写像\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に写像\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束する状況を想定します。この場合、写像\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)は\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( x\right)
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ f_{n}\left( x\right) \right] ^{2}}=\sqrt{\left[ \lim_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ \lim_{x\rightarrow
a}f_{n}\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、有限なベクトルへ収束するベクトル値写像\(\boldsymbol{f}\)のノルムの形をしている写像\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)が与えられたとき、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)は有限な実数へ収束することが保証されるとともに、\(\boldsymbol{f}\)の極限のノルムをとれば\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)の極限が得られます。したがって、何らかのベクトル値\(\boldsymbol{f}\)のノルムの形をしている実数値関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)の収束可能性を検討する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\boldsymbol{f}\)が収束することを確認すればよいということになります。