リプシッツ写像は一様連続写像
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。このような写像\(f\)が定義域\(A\)上においてリプシッツ写像（リプシッツ連続）であることは、\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in A:d_{Y}\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right)
\leq kd_{X}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。以上の定義上に含まれる定数\(k\)をリプシッツ定数と呼びます。
一方、写像\(f\)が定義域\(A\)上において一様連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in A,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
リプシッツ写像は一様連続です。
一様連続写像はリプシッツ写像であるとは限らない
リプシッツ写像は一様連続写像であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、一様連続写像はリプシッツ写像であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において一様連続である一方でリプシッツ写像ではありません（演習問題）。
連続性に関する諸概念どうしの関係
これまで登場した連続性に関する概念どうしの関係について整理します。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。
写像\(f\)が\(A\)上においてリプシッツ写像である場合には、\(f\)は\(A\)上において一様連続です。また、\(f\)が\(A\)上において一様連続である場合には、\(f\)は\(A\)上において連続です。したがって、以下の関係\begin{equation*}\text{リプシッツ写像}\Rightarrow
\text{一様連続写像}\Rightarrow \text{連続写像}
\end{equation*}が成り立ちます。
写像\(f\)が\(A\)上において連続である場合には、\(f\)は\(A\)上において一様連続であるとは限りません。その一方で、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるとともに\(f\)が\(A\)上において連続である場合には、\(f\)は\(A\)上において一様連続です。したがって、\(f\)の定義域\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合には以下の関係\begin{equation*}\text{一様連続写像}\Leftrightarrow \text{連続写像}
\end{equation*}が成り立ちます。また、写像\(f\)が\(A\)上において一様連続である場合、\(f\)は\(A\)上においてリプシッツ写像であるとは限りません。
演習問題
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において一様連続である一方でリプシッツ写像ではないことを示してください。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において一様連続である一方でリプシッツ写像ではないことを示してください。
