写像の一様連続性と点列の極限の関係
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。このような写像\(f\)が定義域\(A\)上で一様連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in A,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、写像の一様連続性は点列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が写像が一様連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }d_{X}\left( x_{n},y_{n}\right) =0
\end{equation*}を満たす2つの点列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな\(Y\)上の点列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)をつくります。このように定義された任意の点列について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }d_{Y}\left( f\left( x_{n}\right) ,f\left(
y_{n}\right) \right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、写像\(f\)が\(A\)上で一様連続であるための必要十分条件です。
\end{equation*}を満たす2つの点列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(Y\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }d_{Y}\left( f\left( x_{n}\right) ,f\left(
y_{n}\right) \right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、写像\(f\)が\(A\)上で一様連続であるための必要十分条件である。
この命題が要求していることは、項の間の距離\(d_{X}\left( x_{n},y_{n}\right) \)が\(0\)へ収束する\(A\)上の「任意の」点列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)の項の間の距離\(d_{Y}\left(f\left( x_{n}\right) ,f\left( y_{n}\right) \right) \)が\(0\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、写像\(f\)が\(A\)上で一様連続であることを示したことにはなりません。
以上の命題より、写像の一様連続性に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。
\end{equation*}が与えられているものとします。定義域\(X\)の点を項とするとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }d_{X}\left( x_{n},y_{n}\right) =0
\end{equation*}を満たす2つの点列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(Y\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)を作ります。このように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }d_{Y}\left( f\left( x_{n}\right) ,f\left(
y_{n}\right) \right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、写像\(f\)が\(X\)上で一様連続であるための必要十分条件です。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この写像が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを点列を用いて示します。具体的には、まず、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert
x_{n}-y_{n}\right\vert =0
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\},\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選びます。このとき、点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right)\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left(
y_{n}\right) \right\vert &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert
c-c\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(c\not=0\)を満たす定数\(c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =cx+d
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は1次の多項式関数、すなわち1次関数です。この写像が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを点列を用いて示します。具体的には、まず、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert
x_{n}-y_{n}\right\vert =0
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\},\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選びます。このとき、点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right)\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left(
y_{n}\right) \right\vert &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \left(
cx_{n}+d\right) -\left( cy_{n}+d\right) \right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert cx_{n}-cy_{n}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert c\right\vert \left\vert
x_{n}-y_{n}\right\vert \\
&=&\left\vert c\right\vert \cdot 0\quad \because \left( c\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であることを点列を用いて示します。具体的には、まず、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{y}_{v}=\left( y_{v}^{\left( 1\right) },y_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\sqrt{\left( x_{v}^{\left(
1\right) }-y_{v}^{\left( 1\right) }\right) ^{2}+\left( x_{v}^{\left(
2\right) }-y_{v}^{\left( 2\right) }\right) ^{2}}=0
\end{eqnarray*}を満たす\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\},\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)を任意に選びます。このとき、\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right)\right\} ,\left\{ f\left( \boldsymbol{y}_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left\vert f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right)
-f\left( \boldsymbol{y}_{v}\right) \right\vert &=&\lim_{v\rightarrow \infty
}\left\vert \left( x_{v}^{\left( 1\right) }+x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
-\left( y_{v}^{\left( 1\right) }+y_{v}^{\left( 2\right) }\right) \right\vert
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left[ \left( x_{v}^{\left( 1\right)
}-y_{v}^{\left( 1\right) }\right) -\left( x_{v}^{\left( 2\right)
}-y_{v}^{\left( 2\right) }\right) \right] \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}^{\left( 1\right) }-y_{v}^{\left(
1\right) }\right) -\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}^{\left( 2\right)
}-y_{v}^{\left( 2\right) }\right) \\
&=&0-0\quad \because \left( c\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。
写像が一様連続でないことの証明
先の命題は、写像が一様連続でないことを示す際にも有用です。具体的には、写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられたとき、その定義域\(A\)の点を項とするとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }d_{X}\left( x_{n},y_{n}\right) =0
\end{equation*}を満たす何らかの点列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して点列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)が、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }d_{Y}\left( f\left( x_{n}\right) ,f\left(
y_{n}\right) \right) =0
\end{equation*}を満たさないことを示せば、\(f\)が\(A\)上において一様連続ではないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(A\)上で一様連続であることと矛盾するからです。
\end{equation*}と定めます。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} \)上で一様連続ではないことを点列を用いて示します。具体的には、一般項が、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&n \\
y_{n} &=&n+\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}で与えられる\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)に注目します。項の間の距離について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert n-\left( n+\frac{1}{n}\right)
\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert -\frac{1}{n}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left(y_{n}\right) \right\} \)の項の間の距離について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left(
y_{n}\right) \right\vert &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert f\left(
n\right) -f\left( n+\frac{1}{n}\right) \right\vert \quad \because \left\{
x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert n^{2}-\left( n+\frac{1}{n}\right)
^{2}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert -2-\frac{1}{n^{2}}\right\vert \\
&=&2
\end{eqnarray*}であり、これは\(0\)ではないため\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において一様連続ではありません。
一様連続写像によるコーシー列の像はコーシー列
距離空間\(\left( X,d\right) \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、コーシー列\(\left\{x_{n}\right\} \)のある項より先にある任意の2つの項の間の距離は限りなく小さくなります。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとします。さらに、この写像\(f\)の定義域\(A\)上の点を項とするコーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられているものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(A\)上の点列であるため、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A
\end{equation*}であり、したがって、\(Y\)上の点列\begin{equation*}\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}が定義可能ですが、\(f\)が\(A\)上で一様連続である場合には\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)は\(Y\)上のコーシー列になることが保証されます。つまり、一様連続写像はコーシー列をコーシー列へと移すということです。
先の命題は写像が一様連続ではないことを判定する上でも有用です。具体的には以下の通りです。
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられたとき、その定義域\(A\)の点を項とするコーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を選んだ上で、そこから\(Y\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくります。この点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(Y\)上のコーシー列ではない場合、先の命題の後半の主張の対偶より、関数\(f\)は\(A\)上において一様連続関数ではありません。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられる点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\left( 0,1\right) \)上の点を項とするコーシー列です。その一方で、点列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}f\left( x_{n}\right) &=&\frac{1}{x_{n}^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{n^{2}}}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&n^{2}
\end{eqnarray*}ですが、これはコーシー列ではありません。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上において一様連続関数ではありません。
演習問題
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(X\)上の離散距離\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in X\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{X}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(f\)が\(X\)上において一様連続であることを点列を用いて示してください。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は正弦関数です。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを点列を用いて示してください。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は余弦関数です。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを点列を用いて示してください。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この写像が\(\left( 0,1\right) \)上で一様連続ではないことを点列を用いて示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】