一様連続写像
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)および写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。このような写像\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。さらに、写像\(f\)が定義域\(A\)上において連続であることとは、\(f\)が\(A\)上の任意の点において連続であること、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、写像\(f\)の定義域上の点\(a\)を任意に選んだ上で、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、点\(a\)からの距離がある値\(\delta \)より近い場所にある任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証されるということです。
通常、変数\(x\)の値が変化するにともない\(f\left(x\right) \)の値は一定のペースで変動するとは限らないため、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)を選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall x\in A:\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left(
f\left( x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}を満たす\(\delta \)の水準は点\(a\)の位置に依存して変化します。点\(a\)の位置に応じてその周辺の点\(x\)において\(f\left( x\right) \)が変化する様子は異なるからです。例えば、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差が小さい場合には、\(x\)が\(a\)から多少離れていても\(f\left(x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差は小さいままであるため、\(\delta \)として大きい値をとることができます。逆に、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left(x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差が大きい場合には、\(x\)が\(a\)から少しでも離れてしまうと\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差は大きくなってしまうため、\(\delta \)として小さい値をとる必要があります。
一方、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、点\(a\)の位置とは関係なく、点\(a\)からの距離がある値\(\delta \)より近い場所にある任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証される場合には、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in A,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}を満たす場合には、写像\(f\)は定義域\(A\)上で一様連続（uniformly continuous on \(A\)）であると言います。
改めて整理すると、写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が定義域\(A\)上で連続であることは、\begin{equation}\forall a\in A,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味する一方、\(f\)が定義域\(A\)上で一様連続であることは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in A,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味しますが、両者の違いは量化記号\begin{equation*}
\forall a\in A
\end{equation*}の相対的な位置だけです。連続性の定義\(\left( 1\right) \)において\(\forall a\in A\)は\(\exists \delta >0\)よりも前に置かれているため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\delta \)の水準は点\(a\)の位置に依存します。点\(a\)の位置が変われば\(\left( 1\right) \)を満たす\(\delta \)の値もまた変化するということです。一方、一様連続性の定義\(\left( 2\right) \)において\(\forall a\in A\)は\(\exists \delta >0\)よりも後に置かれているため、\(\left(2\right) \)を満たす\(\delta \)の水準は点\(a\)の位置に依存しません。点\(a\)の位置が変わっても\(\left( 2\right) \)を満たす\(\delta \)の値は変化しないということです。したがって、\(\left( 2\right) \)中の\(\delta \)に課される制約は\(\left( 1\right) \)中の\(\delta \)に課される制約よりも厳しいため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(\delta \)は必然的に\(\left(1\right) \)を満たします。つまり、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 1\right) \)もまた成り立つこと、すなわち、一様連続な写像は連続であるということです。連続性と一様連続性の関係については場を改めて解説します。
\end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)が定義域\(X\)上において一様連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in X:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この写像が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert
c-c\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow 0<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標ですが、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、上の命題の結論\(0<\varepsilon \)は真であるため上の命題そのものも真です。したがって、\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることが明らかになりました。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(c\not=0\)を満たす定数\(c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =cx+d
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は1次の多項式関数、すなわち1次関数です。この写像が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert \left(
cx+d\right) -\left( ca+d\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert c\left(
x-a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{\left\vert c\right\vert }>0\quad \because c\not=0
\quad \cdots (1)
\end{equation}をとれば、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(a\in \mathbb{R} \)および\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert c\left( x-a\right) \right\vert &=&\left\vert c\right\vert
\left\vert x-a\right\vert \\
&<&\left\vert c\right\vert \delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert c\right\vert \frac{\varepsilon }{\left\vert c\right\vert }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ d_{2}\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow d_{2}\left( f\left( x,y\right) ,f\left( a,b\right) \right)
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)および\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2} &\leq &\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}
\\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。同様に、\begin{equation}
\left\vert y-b\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}が導かれます。したがってこのとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert &=&\left\vert
\left( x-a\right) +\left( y-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-a\right\vert +\left\vert y-b\right\vert \\
&<&\delta +\delta \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&2\delta \\
&=&2\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(X\)上の離散距離\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in X\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{X}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(f\)は\(X\)上において一様連続です（演習問題）。
写像は一様連続であるとは限らない
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が\(A\)上で一様連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in A,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、\(f\)が\(A\)上で一様連続でないことは、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in A,\ \exists x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \wedge d_{Y}\left( f\left( x\right)
,f\left( a\right) \right) \geq \varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の定義域上に存在する限りなく近い2つの点\(a,x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が正の実数になってしまうということです。
\end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)が定義域\(X\)上において一様連続ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in X,\ \exists x\in X:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \wedge d_{Y}\left( f\left( x\right)
,f\left( a\right) \right) \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
写像は一様連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で一様連続ではないことを示します。具体的には、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \wedge \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \wedge \left\vert
x^{2}-a^{2}\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。そこで、\begin{equation}
\varepsilon =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\begin{eqnarray}a &=&\frac{1}{\delta } \quad \cdots (2) \\
x &=&a+\frac{\delta }{2} \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}をとると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-a\right\vert &=&\left\vert \left( a+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{\delta }\right\vert \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right)
\\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{\delta }\right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert \frac{\delta }{2}\right\vert \\
&<&\delta \quad \because \delta >0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-a^{2}\right\vert &=&\left\vert \left( a+\frac{\delta }{2}\right) ^{2}-\left( \frac{1}{\delta }\right) ^{2}\right\vert \quad \because
\left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) ^{2}-\left(
\frac{1}{\delta }\right) ^{2}\right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert 1+\frac{\delta ^{2}}{4}\right\vert \\
&=&1+\frac{\delta ^{2}}{4}\quad \because \delta >0 \\
&>&1 \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
一様連続性は定義域の選び方に依存する
同一の写像であっても定義域が変化すれば一様連続であったりそうではないような事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
X=\mathbb{R} \end{equation*}の場合に\(f\)が\(X\)上において一様連続ではないことは先に示した通りです。その一方で、定義域が、\begin{equation*}X=\left( 0,4\right)
\end{equation*}の場合には\(f\)は\(X\)上において一様連続になります。\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \left( 0,4\right)
,\ \forall x\in \left( 0,4\right) :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \left( 0,4\right)
,\ \forall x\in \left( 0,4\right) :\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta
\Rightarrow \left\vert x^{2}-a^{2}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{8}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとれば、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(a\in \left(0,4\right) \)および\(x\in \left( 0,4\right) \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-a^{2}\right\vert &=&\left\vert \left( x+a\right) \left(
x-a\right) \right\vert \\
&=&\left( x+a\right) \left\vert x-a\right\vert \quad \because a,x\in \left(
0,4\right) \\
&<&\left( 4+4\right) \left\vert x-a\right\vert \quad \because a,x\in \left(
0,4\right) \\
&<&8\cdot \delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&8\cdot \frac{\varepsilon }{8}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
演習問題
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(X\)上の離散距離\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in X\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{X}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(f\)が\(X\)上において一様連続であることを示してください。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は正弦関数です。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを示してください。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は余弦関数です。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを示してください。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は自然指数関数です。この写像\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で一様連続ではないことを示してください。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は自然対数関数です。この写像\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で一様連続ではないことを示してください。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x-y
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であることを示してください。
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