一様連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。この写像\(f\)は以下の2つの条件を満たすものとします。
1つ目の条件は、\(f\)の定義域\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であるということです。つまり、\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在する状況を想定します。
2つ目の条件は、\(f\)が\(A\)上において一様連続写像であるということです。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in A,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。ちなみに、\(f\)が\(A\)上において一様連続である場合には連続でもある一方で、逆は成り立つとは限りません。
以上の条件が満たされる場合には、\(f\)による\(A\)の像\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in Y\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}が\(Y\)上のコンパクト集合になることが保証されます。つまり、一様連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になるということです。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された写像\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値が、\(c>0\)を満たす定数\(c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =cx+d
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は1次の多項式関数、すなわち1次関数であるため、この写像は\(\left[ a,b\right] \)上で一様連続です。有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(\left[ a,b\right] \)はコンパクト集合です。したがって先の命題より\(f\left( \left[ a,b\right] \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ cx+d\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left[ ca+d,cb+d\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは有界閉区間であるため\(f\left( \left[ a,b\right] \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset D\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in D\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
D=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は\(D\)上の一様連続写像であるとともに\(D\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であるため、先の命題より\(f\left( D\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( D\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in D\right\} \\
&=&\left\{ x+y\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left[ -\sqrt{2},\sqrt{2}\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは有界閉区間であるため\(f\left( D\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
一様連続写像によるコンパクト集合の像の性質
距離空間の部分集合がコンパクト集合であることは以下のような様々な形で表現可能です。
- \(A\)は\(X\)上のコンパクト集合である。
- \(A\)の任意の無限部分集合\(B\subset A\)は\(A\)上に集積点を持つ。
- \(A\)は\(X\)上の点列コンパクト集合である。
- 部分距離空間\(\left( A,d\right) \)が完備であるとともに\(A\)が\(X\)上で全有界である。
以上の命題を踏まえると以下が得られます。
- \(f\left( X\right) \)は\(Y\)上のコンパクト集合である。
- \(f\left( X\right) \)の任意の無限部分集合は\(f\left( X\right) \)上に集積点を持つ。
- \(f\left( X\right) \)は\(Y\)上の点列コンパクト集合である。
- 部分距離空間\(\left( f\left(X\right) ,d_{Y}\right) \)が完備であるとともに\(f\left( X\right) \)が\(Y\)上で全有界である。
距離空間の部分集合がコンパクト集合である場合には、その集合は閉集合です。また、距離空間の部分集合が全有界である場合には、その集合は有界です。したがって以下を得ます。
一様連続写像によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合であるとは限らない
一様連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。その一方で、一様連続写像によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合になるとは限りません。つまり、距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)が与えられたとき、\(f\)が\(X\)上において一様連続であるとともに\(B\subset Y\)が\(Y\)上のコンパクト集合である場合、\(f\)による\(B\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数写像であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続です。以下の集合\begin{equation*}\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である一方で、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ではありません（演習問題）。
一様連続写像による完備距離空間の像は完備距離空間であるとは限らない
一様連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。コンパクト集合であることは完備かつ全有界であることと必要十分であるため、先の事実は、一様連続写像による完備かつ全有界な集合の像は完備かつ全有界であることを意味します。一方、一様連続写像による完備距離空間の像は完備距離空間であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は完備距離空間であり、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の一様連続写像です。\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \arctan \left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{eqnarray*}ですが、\begin{equation*}
\left( f\left( \mathbb{R} \right) ,d\right) =\left( \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
,d\right)
\end{equation*}は完備距離空間ではありません（演習問題）。
一様連続写像による全有界集合の像は全有界集合
一様連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。コンパクト集合であることは完備かつ全有界であることと必要十分であるため、先の事実は、一様連続写像による完備かつ全有界な集合の像は完備かつ全有界であることを意味します。では、一様連続写像による全有界集合の像は全有界であると言えるのでしょうか。
連続写像による全有界集合の像は全有界集合であるとは限らない一方で、一様連続写像による全有界集合の像は全有界集合になります。
一様連続写像による有界集合の像は有界集合であるとは限らない
一様連続写像による全有界集合の像は全有界集合になることが明らかになりました。その一方で、一様連続写像による有界集合の像は有界集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の始集合\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)における距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\not=y\right) \\
0 & \left( if\ x=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めるのに対し、\(f\)の終集合\(\left( \mathbb{R} ,d_{2}\right) \)における距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}\mathbb{Z} \subset \mathbb{R} \end{equation*}は始集合\(\mathbb{R} \)上の有界集合であり、\(f\)は\(\mathbb{Z} \)上の一様連続写像である一方で、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{Z} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{Z} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{Z} \right\} \\
&=&\mathbb{Z} \end{eqnarray*}ですが、\(\mathbb{Z} \)は終集合\(\mathbb{R} \)上の有開集合ではありません（演習問題）。
演習問題
\end{equation*}と定めます。写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の始集合\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)における距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\not=y\right) \\
0 & \left( if\ x=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めるのに対し、\(f\)の終集合\(\left( \mathbb{R} ,d_{2}\right) \)における距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。以下の問いに答えてください。
- 整数集合\(\mathbb{Z} \)が始集合\(\mathbb{R} \)上の有界集合であることを示してください。
- \(f\)が\(\mathbb{Z} \)上で一様連続であることを示してください。
- \(f\left( \mathbb{Z} \right) \)が終集合\(\mathbb{R} \)上の有界集合ではないことを示してください。
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