部分距離空間
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。\(A\)の要素を成分とする順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)を任意に選んだとき、\(A\subset X\)ゆえに\(\left( x,y\right) \in X\times X\)であるため、\(X\)上に定義されている距離関数\(d\)のもとで実数\(d\left(x,y\right) \)が定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}\left( x,y\right) =d\left( x,y\right)
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この写像\(d_{A}\)は距離関数としての性質を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in A:d_{A}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ d_{A}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in A:d_{A}(x,y)=d_{A}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in A:d_{A}\left( x,z\right) \leq
d_{A}\left( x,y\right) +d_{A}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが示されるため、\begin{equation*}
\left( A,d_{A}\right)
\end{equation*}は距離空間です。つまり、距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、距離の測定対象となる点集合を\(X\)から\(A\)へ制限した上で、それにあわせて距離関数\(d\)の定義域を\(X\times X\)から\(A\times A\)へ制限して\(d_{A}\)とすれば\(\left( A,d_{A}\right) \)はそれ自体が距離空間になるということです。このような距離空間\(\left(A,d_{A}\right) \)をもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間（metric subspace）と呼びます。
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\left( A,d_{A}\right) \)は距離空間である。
多くの場合、距離関数\(d\)の定義域を\(X\times X\)から\(A\times A\)へ制限することにより得られる距離関数\(d_{A}\)を、制限する以前の距離関数と同様の記号\(d\)で表記します。この場合、部分距離空間\(\left( A,d_{A}\right) \)を、\begin{equation*}\left( A,d\right)
\end{equation*}と表記できます。また、部分距離空間について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに、\begin{equation*}
A
\end{equation*}と表記できます。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{A}\left( x,y\right) &=&d\left( x,y\right) \\
&=&\left\vert x-y\right\vert
\end{eqnarray*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、先の命題より、\(\left( A,d_{A}\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間になります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}&&\left( \mathbb{N} ,d\right) \\
&&\left( \mathbb{Z} ,d\right) \\
&&\left( \mathbb{Q} ,d\right) \\
&&\left( \left[ 0,1\right] ,d\right) \\
&&\left( \left( 0,1\right) \cup \left( 2,3\right) ,d\right)
\end{eqnarray*}などはいずれも\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間です。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{eqnarray*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、先の命題より、\(\left( A,d_{A}\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間になります。
x_{1}-y_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}-y_{2}\right\vert +\cdots
+\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}-y_{i}\right\vert
\end{eqnarray*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}-y_{i}\right\vert
\end{eqnarray*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、先の命題より、\(\left( A,d_{A}\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間になります。
部分距離空間の距離関数に関する注意
距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、距離関数\(d\)の定義域を\(X\times X\)から\(A\times A\)へ制限することにより得られる写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)もまた距離関数になることが明らかになりました。ただ、\(A\times A\)上に定義可能な距離関数は1つだけであるとは限らず、\(d_{A}\)とは異なる写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)の中にも距離の公理を満たすものが存在する状況は起こり得ます。そのような写像\(d_{A}^{\prime }\)については、\(\left( X,d_{A}^{\prime }\right) \)はもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間とはみなされません。\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間の距離関数は\(d_{A}\)に限定されます。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
=\sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}-y_{i}\right\vert
\end{equation*}定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(d_{A}^{\prime }\)はマンハッタン距離であるため距離の公理を満たすものの、マンハッタン距離はユークリッド距離とは異なるため、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\not=d_{A}
\end{equation*}であり、したがって\(\left( A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間ではありません。
演習問題
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) \cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) }
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left(A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間でしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\left\Vert
\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left(A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間でしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\max \left\{
\left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert ,\left\vert x_{2}-y_{2}\right\vert ,\cdots
,\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert \right\}
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left(A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間でしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めます。実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{2}\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めます。\(\left( \mathbb{R} ,d_{2}\right) \)が\(\left( \mathbb{C} ,d_{1}\right) \)の部分距離空間であることを示してください。
\begin{array}{cl}
d_{X}\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\times X\right)
\\
d_{Y\backslash X}\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in
Y\backslash X\times Y\backslash X\right) \\
d_{X}\left( a,x\right) +d_{Y\backslash X}\left( b,y\right) +1 & \left( if\
\left( x,y\right) \in X\times Y\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
d:Y\times Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。加えて、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in X\times Y\backslash X:d\left( x,y\right)
=d\left( y,x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。\(\left( Y,d\right) \)が距離空間であることを示してください。
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