部分距離空間
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。さて、\(X\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。\(A\)の要素を成分とする順序対\(\left(x,y\right) \in A\times A\)を任意に選んだとき、\(A\subset X\)ゆえに\(\left(x,y\right) \in X\times X\)であるため、\(X\)上に定義されている距離関数\(d\)のもとで実数\(d\left( x,y\right) \)が定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}\left( x,y\right) =d\left( x,y\right)
\end{equation*}を定める新たな写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この写像\(d_{A}\)は距離関数としての性質を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in A:d_{A}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ d_{A}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in A:d_{A}(x,y)=d_{A}\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in A:d_{A}\left( x,z\right) \leq
d_{A}\left( x,y\right) +d_{A}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが示されるため、\(\left( A,d_{A}\right) \)は距離空間です。つまり、距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、距離の測定対象となる点集合を\(X\)から\(A\)へ制限した上で、それにあわせて距離関数\(d\)の定義域を\(X\times X\)から\(A\times A\)へ制限して\(d_{A}\)とすれば\(\left( A,d_{A}\right) \)はそれ自体が距離空間になるということです。このような距離空間\(\left(A,d_{A}\right) \)をもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間（metric subspace）と呼びます。
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\left( A,d_{A}\right) \)は距離空間である。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{A}\left( x,y\right) &=&d\left( x,y\right) \\
&=&\left\vert x-y\right\vert
\end{eqnarray*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、先の命題より、\(\left( A,d_{A}\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間になります。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{A}\left( x,y\right) &=&d\left( x,y\right) \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{eqnarray*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、先の命題より、\(\left( A,d_{A}\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間になります。
x_{2}-y_{2}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}-y_{i}\right\vert
\end{eqnarray*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{A}\left( x,y\right) &=&d\left( x,y\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert x_{i}-y_{i}\right\vert
\end{eqnarray*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、先の命題より、\(\left( A,d_{A}\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間になります。
部分距離空間の距離関数に関する注意
距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、距離関数\(d\)の定義域を\(X\times X\)から\(A\times A\)へ制限することにより得られる写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)もまた距離関数になることが明らかになりました。ただ、\(A\times A\)上に定義可能な距離関数は1つだけであるとは限らず、\(d_{A}\)とは異なる写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)の中にも距離の公理を満たすものは存在する状況は起こり得ます。そのような写像\(d_{A}^{\prime }\)については、\(\left( X,d_{A}^{\prime }\right) \)はもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間とはみなされません。\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間の距離関数は\(d_{A}\)に限定されます。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( x,y\right) =\sum_{i=1}^{n}\left\vert
x_{i}-y_{i}\right\vert
\end{equation*}定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(d_{A}^{\prime }\)はマンハッタン距離であるため距離の公理を満たすものの、マンハッタン距離はユークリッド距離とは異なるため、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\not=d_{A}
\end{equation*}であり、したがって\(\left( A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間ではありません。
演習問題
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x-y\right) \cdot \left(
x-y\right) }
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left(A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間でしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left(A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間でしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めます。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( x,y\right) =\max \left\{ \left\vert
x_{1}-y_{1}\right\vert ,\left\vert x_{2}-y_{2}\right\vert ,\cdots
,\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert \right\}
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left(A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間でしょうか。議論してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】