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部分距離空間

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。さて、\(X\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。\(A\)の要素を成分とする順序対\(\left(x,y\right) \in A\times A\)を任意に選んだとき、\(A\subset X\)ゆえに\(\left(x,y\right) \in X\times X\)であるため、\(X\)上に定義されている距離関数\(d\)のもとで実数\(d\left( x,y\right) \)が定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}\left( x,y\right) =d\left( x,y\right)
\end{equation*}を定める新たな写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この写像\(d_{A}\)は距離関数としての性質を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in A:d_{A}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ d_{A}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in A:d_{A}(x,y)=d_{A}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in A:d_{A}\left( x,z\right) \leq
d_{A}\left( x,y\right) +d_{A}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが示されるため、\(\left( A,d_{A}\right) \)は距離空間です。つまり、距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、距離の測定対象となる点集合を\(X\)から\(A\)へ制限した上で、それにあわせて距離関数\(d\)の定義域を\(X\times X\)から\(A\times A\)へ制限して\(d_{A}\)とすれば\(\left( A,d_{A}\right) \)はそれ自体が距離空間になるということです。このような距離空間\(\left(A,d_{A}\right) \)をもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間(metric subspace)と呼びます。

命題(部分距離空間)
距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}\left( x,y\right) =d\left( x,y\right)
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\left( A,d_{A}\right) \)は距離空間である。
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例(部分距離空間)
ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間です。つまり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{equation*}を定めますが、\(d\)は距離の公理を満たします。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{A}\left( x,y\right) &=&d\left( x,y\right) \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{eqnarray*}を定める写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(\left(A,d_{A}\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間になります。

 

部分距離空間の距離関数に関する注意

距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、写像\(d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)は距離の公理を満たすことが明らかになりました。ただ、\(A\times A\)上に定義された距離関数は1つだけであるとは限らず、\(d_{A}\)とは異なる写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)の中にも距離の公理を満たすものは存在し得ます。そのような写像\(d_{A}^{\prime }\)については、\(\left( X,d_{A}^{\prime }\right) \)はもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間とはみなされません。\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間の距離関数は\(d_{A}\)に限定されます。

例(部分距離空間ではない場合)
ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間です。つまり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{equation*}を定めますが、\(d\)は距離の公理を満たします。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( x,y\right) =\sum_{i=1}^{n}\left\vert
x_{i}-y_{i}\right\vert
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(d_{A}^{\prime }\)はマンハッタン距離であるため距離の公理を満たすものの、\(d_{A}^{\prime }\not=d_{A}\)であるため、\(\left( A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間ではありません。

 

演習問題

問題(部分距離空間)
ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間です。つまり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{equation*}を定めますが、\(d\)は距離の公理を満たします。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x-y\right) \cdot \left(
x-y\right) }
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left(A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間でしょうか。議論してください。
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問題(部分距離空間)
ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間です。つまり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{equation*}を定めますが、\(d\)は距離の公理を満たします。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left(A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間でしょうか。議論してください。
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問題(部分距離空間)
ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間です。つまり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{equation*}を定めますが、\(d\)は距離の公理を満たします。非空の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}d_{A}^{\prime }\left( x,y\right) =\max \left\{ \left\vert
x_{1}-y_{1}\right\vert ,\left\vert x_{2}-y_{2}\right\vert ,\cdots
,\left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert \right\}
\end{equation*}を定める写像\(d_{A}^{\prime }:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\left(A,d_{A}^{\prime }\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間でしょうか。議論してください。
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関連知識

距離空間の定義と具体例

公理主義の立場から「距離」の概念を定義します。公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離に限定されない様々な数学的対象が距離とみなされます。