直積距離空間の定義と具体例

直積距離と直積距離空間

非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。

有限\(n\in \mathbb{N} \)個の距離空間\begin{gather*}\left( X_{1},d_{X_{1}}\right) \\
\vdots \\
\left( X_{n},d_{X_{n}}\right)
\end{gather*}が与えられた状況において、これらの直積集合\begin{equation*}
\prod\limits_{i=1}^{n}X_{i}=X_{1}\times \cdots \times X_{n}
\end{equation*}をとります。その上で、この直積集合上に定義された関数\begin{equation*}
d:\prod\limits_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod\limits_{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が距離関数である場合には、すなわち、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( M_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in
\prod\limits_{i=1}^{n}X_{i}:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
\geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in
\prod\limits_{i=1}^{n}X_{i}:\left[ d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in
\prod\limits_{i=1}^{n}X_{i}:d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d\left(
\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \prod\limits_{i=1}^{n}X_{i}:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \leq d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +d\left(
\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\(d\)を直積距離（product metric）と呼びます。また、直積集合と直積距離の組\begin{equation*}\left( \prod\limits_{i=1}^{n}X_{i},d\right)
\end{equation*}を直積距離空間（product metric space）と呼びます。

有限\(n\)個の距離空間上に定義された距離関数\(d_{X_{1}},\cdots ,d_{X_{n}}\)から直積距離\(d\)を何らかの形で生成することはできるのでしょうか。以下ではいくつか具体例を挙げます。

マンハッタン直積距離（1-直積距離）

有限\(n\in \mathbb{N} \)個の距離空間\begin{gather*}\left( X_{1},d_{X_{1}}\right) \\
\vdots \\
\left( X_{n},d_{X_{n}}\right)
\end{gather*}が与えられた状況を想定します。直積集合上に存在する2つの点\(\boldsymbol{x},y\in \prod_{i=1}^{n}X_{i}\)が与えられれば、それらの第\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分からなる順序対\(\left( x_{i},y_{i}\right) \in X_{i}\times X_{i}\)に対して\(i\)番目の距離関数\(d_{X_{i}}:X_{i}\times X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \)は実数\(d_{X_{i}}\left( x_{i},y_{i}\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定めるため、有限\(n\)個の実数\begin{gather*}d_{X_{1}}\left( x_{1},y_{1}\right) \in \mathbb{R} \\
\vdots \\
d_{X_{n}}\left( x_{n},y_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{gather*}が得られます。したがって、これらの和\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}d_{X_{i}}\left( x_{i},y_{i}\right) =d_{X_{1}}\left(
x_{1},y_{1}\right) +\cdots +d_{X_{n}}\left( x_{n},y_{n}\right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \prod_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod_{i=1}^{n}X_{i}\)に対して、\begin{equation*}d_{1}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\sum_{i=1}^{n}d_{X_{i}}\left(
x_{i},y_{i}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
d_{1}:\prod_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod_{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これをマンハッタン直積距離（Manhattan product metric）や1-直積距離（1-product metric）などと呼びます。

マンハッタン直積距離は直積距離です。

ユークリッド直積空間（2-直積空間）

有限\(n\in \mathbb{N} \)個の距離空間\begin{gather*}\left( X_{1},d_{X_{1}}\right) \\
\vdots \\
\left( X_{n},d_{X_{n}}\right)
\end{gather*}が与えられた状況を想定します。直積集合上に存在する2つの点\(\boldsymbol{x},y\in \prod_{i=1}^{n}X_{i}\)が与えられれば、それらの第\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分からなる順序対\(\left( x_{i},y_{i}\right) \in X_{i}\times X_{i}\)に対して\(i\)番目の距離関数\(d_{X_{i}}:X_{i}\times X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \)は実数\(d_{X_{i}}\left( x_{i},y_{i}\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定めるため、有限\(n\)個の実数\begin{gather*}d_{X_{1}}\left( x_{1},y_{1}\right) \in \mathbb{R} \\
\vdots \\
d_{X_{n}}\left( x_{n},y_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{gather*}が得られます。実数の2乗は非負であり、非負の実数どうしの和は非負であり、無理関数\(\sqrt{x}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義されるため、この場合には、\begin{equation*}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ d_{X_{i}}\left( x_{i},y_{i}\right) \right] ^{2}}=\sqrt{\left[ d_{X_{1}}\left( x_{1},y_{1}\right) \right] ^{2}+\cdots +\left[
d_{X_{n}}\left( x_{n},y_{n}\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \prod_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod_{i=1}^{n}X_{i}\)に対して、\begin{equation*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[
d_{X_{i}}\left( x_{i},y_{i}\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
d_{2}:\prod_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod_{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これをユークリッド直積距離（Euclidean product metric）や2-直積距離（2-product metric）などと呼びます。

ユークリッド直積距離は直積距離です。

チェビシェフ直積距離（∞-直積距離）

有限\(n\in \mathbb{N} \)個の距離空間\begin{gather*}\left( X_{1},d_{X_{1}}\right) \\
\vdots \\
\left( X_{n},d_{X_{n}}\right)
\end{gather*}が与えられた状況を想定します。直積集合上に存在する2つの点\(\boldsymbol{x},y\in \prod_{i=1}^{n}X_{i}\)が与えられれば、それらの第\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分からなる順序対\(\left( x_{i},y_{i}\right) \in X_{i}\times X_{i}\)に対して\(i\)番目の距離関数\(d_{X_{i}}:X_{i}\times X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \)は実数\(d_{X_{i}}\left( x_{i},y_{i}\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定めるため、有限\(n\)個の実数\begin{gather*}d_{X_{1}}\left( x_{1},y_{1}\right) \in \mathbb{R} \\
\vdots \\
d_{X_{n}}\left( x_{n},y_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{gather*}が得られます。有限な\(\mathbb{R} \)の部分集合の最大値は1つの実数として定まることが保証されるため、以下の値\begin{equation*}\max \left\{ d_{X_{1}}\left( x_{1},y_{1}\right) ,\cdots ,d_{X_{n}}\left(
x_{n},y_{n}\right) \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in \prod_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod_{i=1}^{n}X_{i}\)に対して、\begin{equation*}d_{\infty }\left( \boldsymbol{x},y\right) =\max \left\{ d_{X_{1}}\left(
x_{1},y_{1}\right) ,\cdots ,d_{X_{n}}\left( x_{n},y_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
d_{\infty }:\prod_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod_{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これをチェビシェフ直積距離（Chebyshev product metric）や\(\infty \)-直積距離（\(\infty \)-product metric）などと呼びます。

チェビシェフ直積距離は直積距離です。

直積距離どうしの関係

有限\(n\in \mathbb{N} \)個の距離空間\begin{gather*}\left( X_{1},d_{X_{1}}\right) \\
\vdots \\
\left( X_{n},d_{X_{n}}\right)
\end{gather*}が与えられた状況において、マンハッタン直積距離、ユークリッド直積距離、チェビシェフ直積距離\begin{eqnarray*}
d_{1} &:&\prod_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod_{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \\
d_{2} &:&\prod_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod_{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \\
d_{\infty } &:&\prod_{i=1}^{n}X_{i}\times \prod_{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれも直積距離であることが明らかになりました。さらに、直積集合上に存在する2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \prod_{i=1}^{n}X_{i}\)を任意に選んだとき、以下の不等式\begin{equation*}d_{\infty }\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \leq d_{2}\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \leq d_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\max \left\{ d_{X_{1}}\left( x_{1},y_{1}\right) ,\cdots ,d_{X_{n}}\left(
x_{n},y_{n}\right) \right\} \\
&\leq &\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ d_{X_{i}}\left( x_{i},y_{i}\right) \right] ^{2}} \\
&\leq &\sum_{i=1}^{n}d_{X_{i}}\left( x_{i},y_{i}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが保証されます。チェビシェフ直積距離はユークリッド直積距離以下であり、ユークリッド直積距離はマンハッタン直積距離以下になるということです。