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距離空間上の点列

距離空間上の点列の収束可能性と有界性の関係

目次

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距離空間上の有界な点列

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が有界であることは様々な形で表現可能ですが、距離関数を用いた場合、\begin{equation}\exists \varepsilon >0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <\varepsilon
\quad \cdots (1)
\end{equation}と表現されます。つまり、\(A\)の任意の2つの点\(x,y\)の間の距離が一定の範囲に収まる場合には\(A\)は有界です。上の命題は、\begin{equation*}\exists x\in X,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall y\in A:d\left( x,y\right)
<\varepsilon
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)の任意の点\(x\)からの距離が一定の範囲に収まるような点が\(X\)上に存在する場合には\(A\)は有界です。

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が与えられたとき、そのすべての項を集めてできる集合は、\begin{equation*}\left\{ x_{n}\in X\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(X\)の非空な部分集合であるため有界であるか検討できます。そこで、上の集合が有界である場合には点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界である(bounded)と言います。有界性の定義\(\left( 1\right) \)を踏まえると、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であることを、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall n,m\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x_{m}\right) <\varepsilon
\end{equation*}と表現できます。つまり、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の2つの項の間の距離が一定の範囲に収まる場合には\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。もしくは、有界性の定義\(\left( 2\right) \)を踏まえると、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であることを、\begin{equation*}\exists x\in X,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall n\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x\right) <\varepsilon
\end{equation*}と表現できます。つまり、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項からの距離が一定の範囲に収まるような点が\(X\)の中に存在する場合には\(A\)は有界です。

例(有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して2次元ベクトル\(x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right)}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を1つずつ定める写像です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} ^{2},\ \exists \varepsilon >0,\ \forall n\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを示します。以下の点\begin{equation*}
x=\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に注目したとき、任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},x\right) &=&d\left( \left( 1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right)
,\left( 1,1\right) \right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{および}x\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left[ \left( 1+\frac{1}{n}\right) -1\right] ^{2}+\left[ \left( 1-\frac{1}{n}\right) -1\right] ^{2}}\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( -\frac{1}{n}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{2}{n^{2}}} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{n}
\end{eqnarray*}となります。これに対して、\begin{equation*}
\frac{\sqrt{2}}{n}<\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
d\left( x_{n},x\right) <\varepsilon
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon >0\)が存在するため証明が完了しました。
例(有界な点列)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow X\)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(X\)の要素\(x_{n}\in X\)を1つずつ定める写像です。何らかの要素\(x\in X\)を適当に選んだ上で、\(X\)の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=x
\end{equation*}と定義します。この点列が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall n,m\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x_{m}\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを示します。\(n,m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},x_{m}\right) &=&d\left( x,x\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、任意の\(\varepsilon >0\)が条件を満たすため証明が完了しました。

 

収束する点列は有界

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)が何らかの点\(a\in X\)に限りなく近づくことを意味しますが、イプシロン・デルタ論法を用いてこれを厳密に表現すると、
\begin{equation*}
\exists a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow d\left( x_{n},a\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}となります。収束する点列は有界であることが保証されます。

命題(収束する点列は有界)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束するならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界である。
証明

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例(収束する点列は有界)
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ 0,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。この距離空間上の点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow C\left[ 0,1\right] \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して関数\(x_{n}\in C\left[ 0,1\right]\)を1つずつ定める写像です。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-nt & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{n}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x\left( t\right) =0
\end{equation*}を定める定数関数\(x:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことを示します。数列\(\left\{ d\left(x_{n},x\right) \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},x\right) &=&\int_{0}^{1}\left\vert x_{n}\left( t\right)
-x\left( t\right) \right\vert dt\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{1}\left\vert x_{n}\left( t\right) -0\right\vert dt\quad
\because x\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{\frac{1}{n}}\left( 1-nt\right) dt\quad \because x_{n}\text{の定義} \\
&=&\left[ t-\frac{n}{2}t^{2}\right] _{0}^{\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{1}{n}-\frac{n}{2}\left( \frac{1}{n}\right) ^{2} \\
&=&\frac{1}{n}-\frac{1}{2n} \\
&=&\frac{1}{2n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }d\left( x_{n},x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\frac{1}{2n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。

 

有界な点列は収束するとは限らない

距離空間上の点列が収束する場合、その点列は有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、有界な点列は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有界だが収束しない点列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界ですが収束しません。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であること、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall n,m\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x_{m}\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを示します。\(n,m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},x_{m}\right) &=&\left\vert x_{n}-x_{m}\right\vert \quad
\because d\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( -1\right) ^{n}-\left( -1\right) ^{m}\right\vert \quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&<&3
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。その一方で、この点列\(\left\{x_{n}\right\} \)は収束しません。実際、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ d\left( x_{n},a\right) \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},a\right) &=&d\left( \left( -1\right) ^{n},a\right) \quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( -1\right) ^{n}-a\right\vert \quad \because d\text{の定義} \\
&=&\left\vert -\left( -1\right) ^{n+1}-a\right\vert \\
&=&\left( -1\right) ^{n+1}+a
\end{eqnarray*}ですが、これは振動列であるため収束せず、したがってもとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しません。

 

点列が収束しないことの判定

収束する点列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない点列は収束しません。したがって、点列が有界でないことを証明できれば、その点列が収束しないことを示したことになります。

例(点列が収束しないことの判定)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列は有界ではありません。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x\right) \geq \varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left\vert n-x\right\vert \geq \varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(x\in \mathbb{R} \)と\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}n\geq x+\varepsilon
\end{equation*}を満たす\(n\in \mathbb{N} \)が存在し、この\(n\)のもとで条件が満たされます。したがって\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界ではありません。有界ではない点列は収束しないため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しません。

 

演習問題

問題(有界だが収束しない点列)
区間\((0,1]\)は非空集合です。ユークリッド空間\(d:(0,1]\times (0,1]\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これはそれぞれの\(\left( x,y\right) \in(0,1]\times (0,1]\)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\left( (0,1],d\right) \)は距離空間です。この距離空間上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界かつ収束しないことを示してください。
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問題(有界な点列)
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ 0,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。この距離空間上の点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow C\left[ 0,1\right] \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して関数\(x_{n}\in C\left[ 0,1\right]\)を1つずつ定める写像です。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =ne^{-n^{2}t}
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であることを示してください。
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