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距離空間上の点列

部分列を用いた距離空間上の点列の収束判定

目次

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部分列を用いた点列の収束可能性の特徴づけ

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)上の点列収束する場合、その任意の部分列もまたもとの点列の極限と同じ極限へ収束することが保証されます。

命題(収束点列の任意の部分列は収束する)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が点\(a\in X\)へ収束するならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の部分列もまた点\(a\)へ収束する。
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上の命題の逆もまた成立します。つまり、点列の任意の部分列が収束するとともにそれらの極限がすべて一致する場合には、もとの点列もまた部分列の極限と同じ極限へ収束します。

命題(任意の部分列が同一の極限へ収束する点列は収束する)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の部分列が同一の点\(a\in X\)へ収束するならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた点\(a\)へ収束する。
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以上の2つの命題より、点列の収束可能性を部分列を用いて以下のように表現できることが明らかになりました。

命題(部分列を用いた点列の収束可能性の特徴づけ)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が点\(a\in X\)へ収束することと、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の部分列が同一の点へ収束するとともにその極限が点\(a\)であることは必要十分である。

 

部分列を用いた収束点列の極限の特定

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束することは分かっているものの、その極限が明らかになっていない状況を想定します。この場合、上の命題より、この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の部分列は\(\left\{x_{n}\right\} \)と同一の極限に収束することが保証されているため、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を求めるかわりに、何らかの部分列の極限を求めてもよいことになります。

この手法はもとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することが分かっている状況においてのみ利用可能であることに注意してください。なぜなら、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束しない場合でもその部分列が収束する事態は起こり得るからです。以下の例より明らかです。

例(収束しない点列の収束部分列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられるものとします。この点列は収束しません。この点列の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left(n\right) }\right\} =\left\{ x_{2n}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&x_{2n} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{l\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

点列が収束しないことの証明

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分列の中に収束しないものが存在する場合、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた収束しません。なぜなら、先の命題より、そのような部分列が存在することは\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束することと矛盾するからです。

例(点列が収束しないことの証明)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}+n
\end{equation*}で与えられるものとします。この点列の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\}=\left\{ x_{2n}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&x_{2n} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n}+n \\
&=&1+n
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{l\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 1+n\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しません。

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の部分列が収束するものの、その中に極限が異なるものが存在する場合、もとの点列\(\left\{x_{n}\right\} \)もまた収束しません。なぜなら、先の命題より、そのような部分列が存在することは\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することと矛盾するからです。

例(点列が収束しないことの証明)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right)}\right\} =\left\{ x_{2n}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( n\right) } &=&x_{2n} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n}+\frac{1}{2n} \\
&=&1+\frac{1}{2n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{l\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 1+\frac{1}{2n}\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。一方、偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{k\left( n\right) }\right\}=\left\{ x_{2n-1}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}x_{k\left( n\right) } &=&x_{2n-1} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n-1}+\frac{1}{2n-1} \\
&=&-1+\frac{1}{2n-1}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{k\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( -1+\frac{1}{2n-1}\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。つまり、これらの部分列の極限は異なるため、先の命題より、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束しません。

 

演習問題

問題(部分列を用いた点列の収束判定)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n\left( -1\right) ^{n}}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列は収束するでしょうか。検討してください。

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問題(部分列の部分列)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)と点\(a\in X\)が与えられた状況を想定します。ただし、この点列の任意の部分列は点\(a\)に収束する部分列を持つものとします。このとき、点列\(\left\{x_{n}\right\} \)もまた点\(a\)に収束することを示してください。
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