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距離空間上の点列

距離空間上の点列の定義

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距離空間上の点列

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)上の無限個の点を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}を\(X\)における点列(sequence in \(X\))と呼びます。数学では有限個の\(X\)の点を並べたものを点列として扱いません。点列は無限に続く点の列です。

点列をフォーマルな形で表現します。繰り返しになりますが、点列とは無限個の\(X\)の点を順番に並べたものであるため、それを総体的に表現するためには、点列を構成する1番目の点\(x_{1}\)、2番目の点\(x_{2}\)、3番目の点\(x_{3}\)、\(\cdots \)などをすべて特定する必要があります。ただ、点列は無限個の点の並びであるため、このような作業を実際に無限回行うことは不可能です。ただ、このような作業を「それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して点\(x_{n}\in X\)を1つずつ定めること」として一般化できるため、点列を表現することとは、\(\mathbb{N} \)から\(X\)への写像を与えることと実質的に同じです。そのようなこともあり、点列を写像\begin{equation*}x:\mathbb{N} \rightarrow X
\end{equation*}として定義することもできます。この写像\(x\)がそれぞれの自然数\(n\)に対して定める像\(x\left( n\right) \)は、点列を構成する\(n\)番目の点です。

通常、写像\(f:A\rightarrow B\)が定義域の値\(a\in A\)に対して定める像を\(f\left( a\right) \in B\)と表記しますが、点列に相当する写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow X\)が自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して定める像\(x\left(n\right) \in X\)に関しては、これを、\begin{equation*}x_{n}
\end{equation*}と表記し、点列の(term)と呼びます。点列を\(\left\{ x_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }\)や\(\left\{ x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)もしくはシンプルに\(\left\{ x_{n}\right\} \)と表現することもできます。

自然数を\(1\)から始まる整数と定義するのであれば、点列を構成する前から\(n\)番目の項は\(x_{n}\)であり、これを点列の\(n\)(\(n\)-thterm)と呼びます。特に、点列の最初の項\(x_{1}\)を初項(first term)と呼びます。

点列の第\(n\)項\(x_{n}\)が具体的な形で与えられているならば、\(x_{n}\)中の\(n\)に具体的な自然数を代入することにより、すべての項を具体的な形で明らかにできます。つまり、\(x_{n}\)は点列のすべての項を一般化した表現と考えられるため、これを一般項(general term)と呼ぶこともあります。点列の一般項\(x_{n}\)の形が分かっている場合には、その点列を「一般項が\(x_{n}\)の点列」と呼ぶこともできます。

例(点列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して実数\(x_{n}\in \mathbb{R} \)を1つずつ定める写像であり、これは数列に他なりません。例えば、\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2\left( 3^{n-1}\right)
\end{equation*}で与えられているとき、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&2\left( 3^{0}\right) =2 \\
x_{2} &=&2\left( 3^{1}\right) =6 \\
x_{3} &=&2\left( 3^{2}\right) =18 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

例(点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して2次元ベクトル\(x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right)}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を1つずつ定める写像です。例えば、\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( n,\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}で与えられているとき、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1,1\right) \\
x_{2} &=&\left( x_{2}^{\left( 1\right) },x_{2}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 2,\frac{1}{2}\right) \\
x_{3} &=&\left( x_{3}^{\left( 1\right) },x_{3}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 3,\frac{1}{3}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

例(点列)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow X\)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(X\)の要素\(x_{n}\in X\)を1つずつ定める写像です。例えば、何らかの要素\(x\in X\)を適当に選んだ上で、\(X\)の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=x
\end{equation*}と定義すると、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&x \\
x_{2} &=&x \\
x_{3} &=&x \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

例(点列)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\(\left[ a,b\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ a,b\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ a,b\right] \times C\left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{a}^{b}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ a,b\right] \times C\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ a,b\right] ,d\right) \)は距離空間となります。この距離空間上の点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow C\left[ a,b\right] \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して関数\(x_{n}\in C\left[ a,b\right]\)を1つずつ定める写像です。\(C\left[ a,b\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =t^{n}+t^{n-1}+\cdots +t+1
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ a,b\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。\(x_{n}\)は多項式関数であるため\(\left[ a,b\right] \)上に定義された連続関数であることに注意してください。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}x_{1}\left( t\right) &=&t+1 \\
x_{2}\left( t\right) &=&t^{2}+t+1 \\
x_{3}\left( t\right) &=&t^{3}+t^{2}+t+1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left( 1+\frac{1}{n+1}\right) ^{n},1-\frac{1}{n+1}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の最初の3項を具体的に特定してください。
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問題(点列)
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ 0,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。この距離空間上の点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow C\left[ 0,1\right] \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して関数\(x_{n}\in C\left[ 0,1\right]\)を1つずつ定める写像です。それぞれの\(t\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{n^{2}}\right) \\
\frac{1}{\sqrt{t}} & \left( if\ \frac{1}{n^{2}}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする\(\left\{x_{n}\right\} \)は\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列であることを示すとともに、この点列\(\left\{x_{n}\right\} \)の最初の3項を具体的に特定してください。
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