点列を用いた距離空間上の全有界集合の判定

点列を用いた全有界集合の定義

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上において全有界集合であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:A\subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right) \)は点\(x_{i}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left(
x,x_{i}\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)が全有界であることとは、正の実数\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、中心が\(X\)上の点であり半径が\(\varepsilon \)であるような有限個の近傍によって\(A\)を必ず覆うことができることを意味します。空集合\(\phi \subset X\)については、これを全有界であるものとみなします。以降では、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が全有界集合であることを点列を用いて表現できることを示します。

距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\subset X\)が与えられた状況を想定します。その上で、\(A\)上の点を項として持つ点列を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A
\end{equation*}を満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。\(A\)が\(X\)上の全有界集合である場合には、このような点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は必ずコーシー列であるような部分列を持ちます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{l\left( m\right)
},x_{l\left( n\right) }\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}を満たす部分列\(\left\{ x_{l\left(n\right) }\right\} \)が必ず存在するということです。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\subset X\)が与えられたとき、\(A\)上の点を項として持つ任意の点列がコーシー列であるような部分列を持つ場合、\(A\)は\(X\)上の全有界集合になります。

この命題について注意しなければならないのは、\(A\)の点を項とする「任意の」点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるような部分列を持つことが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、先の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題より、全有界集合という概念は点列を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

点列を用いた全有界な距離空間の定義

距離空間\(\left( X,d\right) \)が全有界であることとは、\(X\)が\(X\)上において全有界であることこととして定義されます。具体的には、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:X=\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が全有界な距離空間であるための必要十分条件です。

先と同様の議論により、全有界な距離空間もまた点列を用いて以下のように表現可能であることが導かれます。

演習問題