完備な全有界集合としての距離空間上のコンパクト集合（コンパクト距離空間）

距離空間上のコンパクト集合

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であることとは、\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在することとして定義されます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ということです。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)の開集合系を表す記号です。

コンパクト集合は様々な形で表現できますが、これまで明らかになった結果を整理します。

上の命題中の主張2において、\(B\)が有限集合である場合について何も語っていません。\(B\)が有限集合である場合には\(B\)の集積点が存在しないことが確定しているからです。

上の命題において、そもそも\(A\)が有限集合である場合には主張は成り立つでしょうか。有限集合はコンパクト集合であるため、この場合には\(A\)は\(X\)上のコンパクト集合です。つまり、命題中の主張1は成り立ちます。一方、\(A\)が有限集合である場合には無限部分集合\(B\subset A\)がそもそも存在しないため、命題中の主張2もまた成り立つものと解釈できます。また、有限集合は点列コンパクト集合であるため、この場合には\(A\)は\(X\)上の点列コンパクト集合です。つまり、命題中の主張3は成り立ちます。

今回はコンパクト集合が完備な全有界集合として特徴づけられることを解説します。

完備な距離空間

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)がコーシー列であることとは、ある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくことを意味しますが、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}となります。

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)がコーシー列である場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が点\(a\in X\)へ収束する場合には、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の部分列もまた点\(a\)へ収束します。一方、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する部分列を持つ場合、もとの点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束するとは限りません。ただし、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であるとともに点\(a\in X\)へ収束する部分列を持つ場合には、もとのコーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた点\(a\)へ収束することが保証されます。

距離空間\(X\)上の任意のコーシー列が\(X\)の点へ収束する場合、そのような距離空間\(X\)は完備であると言います。

距離空間\(X\)が完備であることとは、\(X\)上の任意のコーシー列が\(X\)上の点へ収束することを意味します。したがって、距離空間\(X\)が完備ではないこととは、\(X\)上の点へ収束しない\(X\)上のコーシー列が存在することを意味します。

距離空間は完備であるとは限りません。以下の例より明らかです。

全有界集合

距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上において全有界であることとは、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:A\subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、正の実数\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、中心が\(X\)上の点であり半径が\(\varepsilon \)であるような有限個の近傍によって\(A\)を必ず覆うことができるということです。空集合\(\phi \subset X\)については、これを全有界であるものとみなします。

距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)は全有界であるとは限りません。\(A\)が全有界ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:A\not\subset
\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:A\cap \left(
\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon }\left( x_{i}\right) \right) ^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

完備な全有界集合としてのコンパクト集合

距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分集合\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合には、以下の2つの主張が成り立ちます。

距離関数\(d\)の定義域を\(X\times X\)から\(A\times A\)へ制限すれば部分距離空間\(\left( A,d\right) \)が得られます。部分距離空間は距離空間であるため、\(\left( A,d\right) \)が完備であるか検討できます。\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合には、\(\left( A,d\right) \)が完備になることが保証されます。また、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合には、\(A\)は\(X\)上において全有界になります。

距離空間\(\left( X,d\right) \)上の部分集合\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合には、部分距離空間\(\left( A,d\right) \)は完備であるとともに\(A\)は\(X\)上で全有界であることが明らかになりましたが、逆の主張も成り立ちます。つまり、距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、部分距離空間\(\left( A,d\right) \)が完備かつ\(A\)が\(X\)上で全有界である場合には、\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合になります。

以上の2つの命題より、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)がコンパクトであることと、部分距離空間\(\left( A,d\right) \)が完備かつ\(A\)が\(X\)上で全有界であることが必要十分であることが明らかになりました。したがって以下を得ます。

以上の命題中の最初の3つの主張については、\begin{equation}
1\Rightarrow 2\Rightarrow 3 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを証明する一方で、\begin{equation*}
3\Rightarrow 2\Rightarrow 1
\end{equation*}の証明を保留にしていました。ただし、今回、\begin{equation*}
3\Rightarrow 4\Rightarrow 1
\end{equation*}を証明したため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3\Leftrightarrow 4
\end{equation*}の証明が完了したことになります。

完備な全有界距離空間としてのコンパクト距離空間

距離空間\(X\)がコンパクト距離空間であることとは、\(X\)が\(X\)上のコンパクト集合であることを意味します。より正確には、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ X=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(X\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ X=\bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ということです。

コンパクト距離空間は様々な形で表現できますが、これまで明らかになった結果を整理します。

コンパクト距離空間についても、距離空間上のコンパクト集合と同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

距離空間\(X\)が完備であることは、\(X\)上の任意のコーシー列が\(X\)の点へ収束することとして定義されます。

距離空間\(X\)が全有界であることとは、\(X\)が\(X\)上において全有界であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{n}\in X:X=\bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon
}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

距離空間\(X\)がコンパクト距離空間であることと、\(X\)が完備かつ全有界であることは必要十分です。証明は距離空間上のコンパクト集合に関する先の命題と同様です。したがって以下を得ます。

上の命題において、そもそも\(X\)が有限集合である場合には主張は成り立つでしょうか。有限集合はコンパクト集合であるため、この場合には\(X\)はコンパクト距離空間です。つまり、命題中の主張1は成り立ちます。一方、\(X\)が有限集合である場合には無限部分集合\(A\subset X\)がそもそも存在しないため、命題中の主張2もまた成り立つものと解釈できます。さらに、有限集合は点列コンパクト集合であるため、この場合には\(X\)は点列コンパクト距離空間です。つまり、命題中の主張3も成り立ちます。加えて、有限集合は完備かつ全有界であるため、命題中の主張4もまた成り立ちます。

演習問題