距離空間における外点・外部

外点・外部

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)の近傍の中に\(A\)の補集合\(A^{c}=X\backslash A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の外点（exterior point）と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある任意の点が\(A^{c}\)の点になること、すなわち\(A\)の点でないことが保証されることを意味します。

逆に、点\(a\in X\)が集合\(A\)の外点でないこととは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の外点でないこととは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素が必ず存在することを意味します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A \)のすべての外点からなる集合を\(A\)の外部（exterior）と呼び、\begin{equation*}A^{e},\quad \mathrm{ext}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}x\in A^{e}\Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の外点\(a\in A^{e}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として持つため、すなわち\(a\in N_{\varepsilon}\left( a\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}a\in A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の外点は必ず\(A\)の補集合\(A^{c}\)の要素であるということです。つまり、\(A\)の外部は\(A^{c}\)の部分集合です。\(A^{c}\)の要素ではない点は\(A\)の外点になり得ないため、\(A\)の外点を探す際には\(A\)の補集合\(A^{c}\)の点だけを候補としても問題はありません。

外点は存在するとは限らない

距離空間の部分集合は外点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

外部と内部の関係

距離空間\(X\)の部分集合\(A \)が与えられたとき、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{align*}x\in A^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A\quad \because \text{内部の定義}
\\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\subset
(A^{c})^{c}\quad \because A=(A^{c})^{c} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{e}\quad \because \text{外部の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の内点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の外点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。また、\begin{align*}
x\in A^{e}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{equation*}も成り立ちます。つまり、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の外点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の内点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。以上の事実を命題としてまとめておきます。

距離空間\(X\)の部分集合の内部という概念は\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)から定義可能であることを以前に指摘しました。さらに内部が定義されれば、上の命題より、外部という概念を間接的に定義できます。つまり距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の外部を、その補集合\(A^{c}\)の内部として定義できるということです。したがって、距離空間\(X\)の部分集合の外部という概念もまた\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)から定義可能です。

外部を用いた閉集合の定義

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{e}\subset A^{c}
\end{equation*}が必ず成り立つことが明らかになりました。では逆に、以下の関係\begin{equation*}
A^{c}\subset A^{e}
\end{equation*}もまた必ず成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

では、どのような条件のもとで\(A^{c}\subset A^{e}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(X\)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{c}\subset A^{e}\)という関係もまた成立します。

距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{e}\subset A^{c}\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A^{c}\subset A^{e} &\Leftrightarrow &A^{c}\subset A^{e}\wedge A^{e}\subset
A^{c}\quad \because A^{e}\subset A^{c}\text{は恒真式}
\\
&\Leftrightarrow &A^{c}=A^{e}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{c}\subset A^{e}\Leftrightarrow A^{c}=A^{e}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、先の命題を以下のように言い換えることができます。

以上の命題は、閉集合という概念が外部という概念から定義可能であることを意味します。つまり、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)に対して、その外部\(A^{e}\)が底意義されていれば、以下の条件\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{c}=A^{e}
\end{equation*}を満たすものとして閉集合の概念を間接的に定義できるということです。

閉集合は開集合の補集合として定義されます。したがって、先の命題を以下のように言い換えることもできます。

外部を用いた閉集合であることの判定

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{c}=A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の外部\(A^{e}\)を特定した上で、それが\(A\)の補集合と一致することを示してもよいということになります。

外部を用いた閉集合ではないことの判定

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{c}=A^{e}
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}X\text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{c}\not=A^{e}
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(X\)上の集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の外部\(A^{e}\)を特定した上で、それが\(A\)の補集合と一致しないことを示してもよいということになります。

ちなみに、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことは\(A\)が開集合であることを必ずしも意味しないため、\(A^{c}\not=A^{e}\)を示した場合、\(A\)が開集合であることを示したことにはなりません。

開集合を用いた外部の定義

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{equation*}が必ず成り立つことが明らかになりました。距離空間\(X\)の部分集合の内部は\(X\)上の開集合であるため\(\left( A^{c}\right)^{i}\)は開集合であり、したがってそれと等しい\(A^{e}\)もまた開集合です。つまり、距離空間\(X\)の任意の部分集合の外部は\(X\)上の開集合であるということです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A \)を任意に選んだ上で、その外部\(A^{e}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であり、なおかつ\(X\)上の開集合です。\(A^{c}\)の部分集合であるような\(X\)上の開集合は\(A^{e}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{e}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A^{c}\)の部分集合であるような\(X\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{e}\)の間には\(B\subset A^{e}\)という関係が成り立つということです（演習問題）。

距離空間\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\left(X\right) \)に属する\(X\)上の開集合の中でも、\(A^{c}\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の外部\(A^{e}\)になります。したがって距離空間\(X\)の部分集合の外部という概念は\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)から間接的に定義することも可能です。

演習問題