内点・内部
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点（interior point）と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある任意の点が\(A\)の点になることが保証されることを意味します。
逆に、点\(a\in X\)が集合\(A\)の内点でないこととは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の内点でないこととは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素ではない点が存在することを意味します。
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部（interior）や開核（open kernel）などと呼び、\begin{equation*}A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( x\right)
\cap A^{c}=\phi \quad \because \text{包含関係の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。
集合\(A\)の内点\(a\in A^{i}\)が与えられたとき、内点の定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として持つため、すなわち\(a\in N_{\varepsilon}\left( a\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}a\in A
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
A^{i}\subset A
\end{equation*}であることが明らかになりました。集合\(A\)の内点は必ず\(A\)の要素であるということです。したがって、集合\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ないため、\(A\)の内点を探す際には\(A\)の点だけを候補としても問題はありません。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部である。
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります（演習問題）。ここでは、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}\subset N_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}をとります。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) ^{i}=X\backslash \left\{
a\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。ここでは、\begin{equation*}
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) ^{i}\subset X\backslash \left\{
a\right\}
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}となります（演習問題）。ここでは、\begin{equation*}
X^{i}\subset X
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}と定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because d\text{の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。したがって、集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,a+x\right)
\subset A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}と定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \quad \because d\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。したがって、集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \subset A
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
内点は存在するとは限らない
距離空間の部分集合は内点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}が成立しますが、空集合の部分集合は空集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\phi ^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、空集合は内点を持たないことが明らかになりました。
\end{equation*}と定めます。すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)の内部は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi \end{equation*}となります（演習問題）。
その一方で、任意の非空の部分集合が内点を持つような距離空間も存在します。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。非空の部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その内部は、\begin{equation*}A^{i}=A\not=\phi
\end{equation*}となります（演習問題）。
内部を用いた開集合の定義
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)が任意に与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{i}\subset A
\end{equation*}が必ず成り立つことが明らかになりました。では逆に、以下の関係\begin{equation*}
A\subset A^{i}
\end{equation*}もまた必ず成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。この閉区間の内部は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}であるため、点\(a,b\in \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)の要素である一方で\(\left[ a,b\right] ^{i}\)の要素ではありません。したがって、\begin{equation*}\left[ a,b\right] \subset \left[ a,b\right] ^{i}
\end{equation*}は成り立ちません。
では、どのような条件のもとで\(A\subset A^{i}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が距離空間\(X \)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上の開集合であるための必要十分条件である。
距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A\subset A^{i} &\Leftrightarrow &A\subset A^{i}\wedge A^{i}\subset A\quad
\because A^{i}\subset A\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A=A^{i}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\subset A^{i}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、先の命題を以下のように言い換えることもできます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上の開集合であるための必要十分条件である。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部である。
以上の命題は、開集合という概念が内部という概念から定義可能であることを意味します。つまり、距離空間\(X\)の部分集合\(A \)に対して、その内部\(A^{i}\)が定義されていれば、以下の条件\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の開集合}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}を満たすものとして開集合の概念を間接的に定義できるということです。
内部を用いた開集合であることの判定
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の開集合}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(X\)の部分集合\(A\)が開集合であることを示すためには、\(A\)の内部\(A^{i}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致することを示してもよいということになります。
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}を満たすため、先の命題より、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(X\)上の開集合です。
\end{equation*}をとります。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) ^{i}=X\backslash \left\{
a\right\}
\end{equation*}を満たすため、先の命題より、\(X\backslash \left\{ a\right\} \)は\(X\)上の開集合です。
\end{equation*}を満たすため、先の命題より、\(\phi \)は\(X\)上の開集合です。
\end{equation*}を満たすため、先の命題より、\(X\)は\(X\)上の開集合です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その内部は、\begin{equation*}A^{i}=A
\end{equation*}を満たすため、先の命題より、\(A\)は\(X\)上の開集合です。
内部を用いた開集合ではないことの判定
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の開集合}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}X\text{上の開集合ではない}\Leftrightarrow A\not=A^{i}
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(X\)の部分集合\(A\)が開集合ではないことを示すためには、\(A\)の内部\(A^{i}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致しないことを示してもよいということになります。
ちなみに、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上の開集合ではないことは\(A\)が\(X\)上の閉集合であることを必ずしも意味しないため、\(A\not=A^{i}\)を示した場合、\(A\)が閉集合であることを示したことにはなりません。
\end{equation*}と定めます。すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)の内部は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi \end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}\not=\mathbb{Q} \end{equation*}となるため、\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。
開集合を用いた内部の定義
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)の内部\(A^{i}\)は\(X\)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)をとることができますが、これは\(A^{i}\)と一致します。つまり、\begin{equation*}\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです（演習問題）。
以上の事実は、内部\(A^{i}\)の内部が\(A^{i}\)自身と一致することを意味しますが、先の命題より、以上の事実は\(A^{i}\)が\(X\)上の開集合であることを意味します。つまり、距離空間\(X\)の任意の部分集合の内部は\(X\)上の開集合です。
距離空間\(X\)の部分集合\(A \)を任意に選んだ上で、その内部\(A^{i}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、なおかつ\(X\)上の開集合です。\(A \)の部分集合であるような\(X\)上の開集合は\(A^{i}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{i}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A\)の部分集合であるような\(X\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{i}\)の間には\(B\subset A^{i}\)という関係が成り立つということです（演習問題）。
B\subset A^{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)に属する\(X\)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(X\)の部分集合の内部という概念は\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)から間接的に定義することも可能です。
演習問題
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であることを示してください。
\end{equation*}をとります。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) ^{i}=X\backslash \left\{
a\right\}
\end{equation*}であることを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その内部は、\begin{equation*}A^{i}=A
\end{equation*}であることを示してください。
\end{equation*}と定めます。すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)の内部は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi \end{equation*}であることを示してください。
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される一方で、点\(a\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right) \leq
\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。以下の関係\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}は常に成立するでしょうか。議論してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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