教材一覧
教材一覧
教材検索

距離空間の位相

距離空間における内点・内部

目次

Twitter
Mailで保存

内点・内部

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点(interior point)と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある任意の点が\(A\)の点になることが保証されることを意味します。

逆に、点\(a\in X\)が集合\(A\)の内点でないこととは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の内点でないこととは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素ではない点が存在することを意味します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部(interior)や開核(open kernel)などと呼び、\begin{equation*}A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( x\right)
\cap A^{c}=\phi \quad \because \text{包含関係の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の内点\(a\in A^{i}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として持つため、すなわち\(a\in N_{\varepsilon}\left( a\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}a\in A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の内点は必ず\(A\)の要素であるということです。つまり、\(A\)の内部は\(A\)の部分集合です。\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ないため、\(A\)の内点を探す際には\(A\)の点だけを候補としても問題はありません。

命題(集合の内部はその集合の部分集合)
距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{i}\subset A
\end{equation*}が成り立つ。

例(点の近傍の内部)
距離空間\(X\)が与えられたとき、点\(a\in X\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。したがって、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}\subset N_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成立しており、これは先の命題の主張と整合的です。

例(1次元ユークリッド空間上の点の近傍の内部)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because \text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)の点\(a\)の近傍は点\(a\)を中心とする有界開区間と実質的に等しい概念です。\(\mathbb{R} \)は距離空間であるため、距離空間上の点の近傍の内部に関する先の主張より、\begin{equation*}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) ^{i}=\left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(2次元ユークリッド空間上の点の近傍の内部)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)の点\(a\)の近傍は点\(a\)を中心とする円盤と実質的に等しい概念です。ただし、円盤の境界、すなわち円を含みません。\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であるため、距離空間上の点の近傍の内部に関する先の主張より、\begin{equation*}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}<\varepsilon ^{2}\right\} ^{i}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(1点集合の補集合の内部)
距離空間\(X\)が与えられたとき、点\(a\in X\)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}X\backslash \left\{ a\right\}
\end{equation*}をとります。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) ^{i}=X\backslash \left\{
a\right\}
\end{equation*}となります(演習問題)。したがって、\begin{equation*}
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) ^{i}\subset X\backslash \left\{
a\right\}
\end{equation*}という関係が成立しており、これは先の命題の主張と整合的です。

例(離散空間の部分集合の内部)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その内部は、\begin{equation*}A^{i}=A
\end{equation*}となります(演習問題)。したがって、\begin{equation*}
A^{i}\subset A
\end{equation*}という関係が成立しており、これは先の命題の主張と整合的です。

距離空間の部分集合は内点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有理数空間の内点)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)は内点を持たないため(演習問題)、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi \end{equation*}となります。空集合は任意の集合の部分集合であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}\subset \mathbb{Q} \end{equation*}という関係が成立しており、これは先の命題の主張と整合的です。

 

内部を用いた開集合の定義

繰り返しになりますが、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}A^{i}\subset A
\end{equation*}という関係が常に成立します。では逆に、\begin{equation*}
A\subset A^{i}
\end{equation*}という関係もまた常に成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と内部の関係)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}をとると、その内部は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}となります。点\(a,b\in \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)の要素である一方で\(\left[ a,b\right] ^{i}\)の要素ではないため、\begin{equation*}\left[ a,b\right] \subset \left[ a,b\right] ^{i}
\end{equation*}は成り立ちません。

では、どのような条件のもとで\(A\subset A^{i}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が距離空間\(X\)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。

命題(内部による開集合の定義)
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上の開集合であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

以上の命題は、開集合という概念が内部という概念から定義可能であることを意味します。つまり、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり\(A\)の任意の点が\(A\)の内点であることとして、\(A\)が\(X\)上の開集合であることを定義できるということです。さらに、\(X\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A\subset A^{i} &\Leftrightarrow &A\subset A^{i}\wedge A^{i}\subset A\quad
\because A^{i}\subset A\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A=A^{i}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\subset A^{i}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(内部による開集合の定義)
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A=A^{i}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上の開集合であるための必要十分条件である。

 

開集合を用いた内部の定義

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(X\)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します(演習問題)。つまり、\begin{equation*}\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。先の命題より、これは\(A^{i}\)が\(X\)上の開集合であることと必要十分です。つまり、距離空間\(X\)の任意の部分集合の内部は\(X\)上の開集合です。

命題(内部は開集合)
距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(X\)上の開集合である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その内部\(A^{i}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、なおかつ\(X\)上の開集合です。\(A\)の部分集合であるような\(X\)上の開集合は\(A^{i}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{i}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A\)の部分集合であるような\(X\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{i}\)の間には\(B\subset A^{i}\)という関係が成り立つということです(演習問題)。

命題(開集合を用いた内部の定義)
距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(X\)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}:\left( B\subset A\Rightarrow B\subset A^{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(X\)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(X\)の部分集合の内部という概念は\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

演習問題

問題(点の近傍の内部)
距離空間\(X\)が与えられたとき、点\(a\in X\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(1点集合の補集合の内部)
距離空間\(X\)が与えられたとき、点\(a\in X\)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}X\backslash \left\{ a\right\}
\end{equation*}をとります。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) ^{i}=X\backslash \left\{
a\right\}
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(離散空間の部分集合の内部)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その内部は、\begin{equation*}A^{i}=A
\end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(有理数空間の内部)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)の内部は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi \end{equation*}であることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(点の閉近傍の内部)
距離空間\(X\)が与えられたとき、点\(a\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される一方で、点\(a\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right) \leq
\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。以下の関係\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}は常に成立するでしょうか。議論してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(包含関係と内部)
距離空間\(X\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{i}\subset B^{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(共通部分と内部)
距離空間\(X\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(和集合と内部)
距離空間\(X\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント