点の近傍
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍（neighborhood of \(a\)）や開近傍（open neighborhoodof \(a\)）または開球体（open ball）と呼びます。また、点\(a\)を近傍の中心（center）と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径（radius）と呼びます。
距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)は対称性を満たすため、すなわち、\begin{equation*}\forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(a\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( a,x\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
\end{equation*}と定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because d\text{の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)の点\(a\)の近傍は点\(a\)を中心とする有界開区間と等しい概念です。
\end{equation*}と定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \quad \because d\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(d\)の定義より、点\(a\in X\)からの距離が\(1\)未満の場所にある\(X\)上の点は\(a\)自身だけであるため、\(0<\varepsilon \leq 1\)の場合には、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ a\right\} \quad \because 0<\varepsilon \leq 1
\end{eqnarray*}となる一方で、\(\varepsilon >1\)の場合には、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&X\quad \because \varepsilon >1
\end{eqnarray*}となります。結果をまとめると、点\(a\in X\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left\{ a\right\} & \left( if\ 0<\varepsilon \leq 1\right) \\
X & \left( if\ \varepsilon >1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}N_{\frac{1}{2}}\left( a\right) &=&\left\{ a\right\} \\
N_{1}\left( a\right) &=&\left\{ a\right\} \\
N_{2}\left( a\right) &=&X
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
点の近傍系
距離空間上の点\(a\in X\)が与えられたとき、半径\(\varepsilon >0\)の大きさに応じて様々な半径を持つ点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が得られます。そこで、点\(a\)の近傍をすべて集めてできる集合族を、\begin{equation*}N\left( a\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍系（neighborhood system of \(a\)）と呼びます。
距離空間上の点\(a\in X\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( a,a\right) &=&0\quad \because \text{距離の不可識別同一性} \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
a\in N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}であることを意味します。点\(a\)の近傍は中心を要素として持つということです。任意の半径\(\varepsilon \)について同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:a\in N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。共通部分の定義より、これは、\begin{equation*}
a\in \bigcap\limits_{\varepsilon >0}N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a\in \bigcap N\left( a\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、点\(a\)は自身の近傍系\(N\left( a\right) \)の共通部分の要素です。さらに、点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の共通部分の要素は点\(a\)以外に存在しません（演習問題）。したがって以下を得ます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(N\left( a\right) \)は点\(a\)の近傍系である。
距離空間上の点\(a\in X\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の要素、すなわち点\(a\)の近傍を2つ任意に選び、それらを\(N_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \)と\(N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right) \)でそれぞれ表記します。近傍の定義より\(\varepsilon _{1}>0\)かつ\(\varepsilon _{2}>0\)です。このとき、この2つの近傍の双方に含まれる点\(a\)の近傍が存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset
N_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです（演習問題）。
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset N_{\varepsilon
_{1}}\left( a\right) \cap N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、距離空間上の点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の2つの要素を任意に選んだとき、それらの共通部分の部分集合であるような\(N\left( a\right) \)の要素が必ず存在するということです。つまり、上の命題を一般的な形で表現すると、それぞれの点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\forall A\in N\left( a\right) ,\ \forall B\in N\left( a\right) ,\ \exists
C\in N\left( a\right) :C\subset A\cap B
\end{equation*}が成り立つという主張になります。このような意味において、上の命題は点の近傍系の性質を記述したものになっています。
距離空間の近傍系
距離空間上の点\(a\in X\)に応じて中心が異なる様々な近傍系\(N\left( a\right) \)が得られます。そこで、\(X\)上のすべての点の近傍系からなる集合族を、\begin{equation*}N=\left\{ N\left( a\right) \ |\ a\in X\right\}
\end{equation*}で表記し、これを距離空間\(X\)の近傍系（neighbourhood system of \(X\)）と呼びます。
距離空間上の点\(a\in X\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)をとります。この近傍に属する点\(b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、この点\(b\)の近傍の中に、先の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合であるようなものが存在することが保証されます。つまり、近傍\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) ,\ \exists \delta >0:N_{\delta
}\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
}\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
部分距離空間の点の近傍
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられたとき、その部分集合\(S\subset X\)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(S\times S\)へ制限して\(d_{S}:S\times S\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in S\times S:d_{S}\left( x,y\right) =d\left(
x,y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{S}\)を定義すれば、この\(d_{S}\)は距離の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in S:d_{S}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in S:\left[ d_{S}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in S:d_{S}(x,y)=d_{S}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in S:d_{S}\left( x,z\right) \leq
d_{S}\left( x,y\right) +d_{S}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( S,d_{S}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間と呼びます。慣例として、部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)上の距離関数\(d_{S}\)をもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)上の距離を表す記号\(d\)を用いて表記できます。
部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても点の近傍を定義できます。具体的には以下の通りです。
距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(a\in S\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(S\)の点からなる集合であり、これを、\begin{equation*}N_{\varepsilon }^{S}\left( a\right) =\left\{ x\in S\ |\ d_{S}\left(
x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記します。
\end{equation*}と定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because d\text{の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。実数空間の部分集合\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)に注目した上で、部分距離空間\begin{equation*}\left( \left[ 0,1\right] ,d\right)
\end{equation*}をとります。この部分空間上の点\(a\in \left[ 0,1\right] \)を中心とする半径\(\varepsilon>0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{\left[ 0,1\right] }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \left[
0,1\right] \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because
\text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \left\vert x-a\right\vert
<\varepsilon \right\} \quad \because d\text{の定義} \\
&=&\left[ 0,1\right] \cap \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad
\because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、点\(0\in \left[ 0,1\right] \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{\left[ 0,1\right] }\left( 0\right) &=&\left[ 0,1\right] \cap \left( 0-\varepsilon ,0+\varepsilon \right) \\
&=&\left[ 0,1\right] \cap \left( -\varepsilon ,\varepsilon \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\lbrack 0,\varepsilon ) & \left( if\ \varepsilon \leq 1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ \varepsilon >1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。
距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分空間上の点\(a\in S\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }^{S}\left( a\right) =\left\{ x\in S\ |\ d_{S}\left(
x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります。\(a\in S\)かつ\(S\subset X\)ゆえに\(a\in X\)であるため、もとの距離空間\(\left( X,d\right) \)上においてもこの点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとることができます。同一の中心\(a\in S\subset X\)と半径\(\varepsilon >0\)を問題としている場合においても、部分空間\(S\)における点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon}^{S}\left( a\right) \)と、もとの距離空間\(X\)におけるその点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。部分集合\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)に注目した上で、部分距離空間\begin{equation*}\left( \left[ 0,1\right] ,d\right)
\end{equation*}をとります。先に明らかになったように、部分空間上の点\(a\in \left[0,1\right] \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }^{\left[ 0,1\right] }\left( a\right) =\left[ 0,1\right] \cap
\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}である一方で、もとの空間\(\mathbb{R} \)におけるこの点\(a\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。したがって、中心として点\(0\in \left[ 0,1\right] \)を採用し、半径として\(\frac{1}{2}>0\)を採用する場合、部分空間\(\left[ 0,1\right] \)上においては、\begin{eqnarray*}N_{\frac{1}{2}}^{\left[ 0,1\right] }\left( 0\right) &=&\left[ 0,1\right] \cap \left( 0-\frac{1}{2},0+\frac{1}{2}\right) \\
&=&\left[ 0,1\right] \cap \left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}である一方で、もとの空間\(\mathbb{R} \)上においては、\begin{eqnarray*}N_{\frac{1}{2}}\left( 0\right) &=&\left( 0-\frac{1}{2},0+\frac{1}{2}\right)
\\
&=&\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
N_{\frac{1}{2}}^{\left[ 0,1\right] }\left( 0\right) \not=N_{\frac{1}{2}}\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
x_{2}-y_{2}\right\vert
\end{equation*}と定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を定式化してください。その上で、点\(\left(0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の近傍\begin{equation*}N_{1}\left( 0,0\right)
\end{equation*}を図示してください。
,\left\vert x_{2}-y_{2}\right\vert \right\}
\end{equation*}と定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を定式化してください。その上で、点\(\left(0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の近傍\begin{equation*}N_{1}\left( 0,0\right)
\end{equation*}を図示してください。
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)を\(a\)の近傍と呼びます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は半径が\(\varepsilon \)であるような点\(a\)の近傍です。
- 点\(a\in X\)の任意の近傍は\(a\)を要素として持つことを示してください。
- 点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)から定義される以下の集合\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right) \leq\varepsilon \right\}
\end{equation*}は点\(a\)の近傍であることを示してください。このような集合\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)を点\(a\)の閉近傍（closed neighborhood of \(a\)）と呼びます。 - \(X\)の部分集合である\(A\)と\(B\)がともに点\(a\in X\)の近傍であるならば\(A\cap B\)もまた\(a\)の近傍であることを示してください。
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