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距離空間の位相

距離空間における点の近傍・近傍系

目次

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点の近傍

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)の近傍(neighborhood of \(a\))や開近傍(open neighborhoodof \(a\))または開球体(open ball)と呼びます。また、点\(a\)を近傍の中心(center)と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径(radius)と呼びます。

距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)は対称性を満たすため、すなわち、\begin{equation*}\forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(a\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( a,x\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

例(1次元ユークリッド空間における点の近傍)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because \text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)の点\(a\)の近傍は点\(a\)を中心とする有界開区間と実質的に等しい概念です(下図)。開区間であるため端点\(a-\varepsilon ,a+\varepsilon \)をともに含まない点に注意してください。

図:点の近傍
図:点の近傍

具体例を挙げると、点\(1\)を中心とする半径\(2\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{2}\left( 1\right) &=&\left( 1-2,1+2\right) \\
&=&\left( -1,3\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(-2\)を中心とする半径\(\frac{1}{2}\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\frac{1}{2}}\left( -2\right) &=&\left( -2-\frac{1}{2},-2+\frac{1}{2}\right) \\
&=&\left( -\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)
\end{eqnarray*}です。

例(1次元ユークリッド空間の部分空間における点の近傍)
1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であるため、その部分集合\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)の部分距離空間であり、したがって\(\left[ 0,1\right] \)もまた距離空間です。ただし、ここでの距離関数\(d:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。点\(a\in \left[ 0,1\right] \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\
d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \left\vert x-a\right\vert
<\varepsilon \right\} \quad \because \text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\left[ 0,1\right] \cap \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad
\because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
N_{\frac{1}{2}}\left( 0\right) &=&\left[ 0,1\right] \cap \left( 0-\frac{1}{2},0+\frac{1}{2}\right) \\
&=&\left[ 0,1\right] \cap \left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)の部分距離空間において、点の近傍は有界開区間であるとは限らないということです。
例(2次元ユークリッド空間における点の近傍)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)の点\(a\)の近傍は点\(a\)を中心とする円盤と実質的に等しい概念です(下図)。ただし、円盤の境界、すなわち円を含みません。

図:点の近傍
図:点の近傍

具体例を挙げると、点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{1}\left( 0,0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-0\right) ^{2}+\left( x_{2}-0\right) ^{2}<1^{2}\right\}
\\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<1\right\}
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( -1,-2\right) \)を中心とする半径\(\frac{1}{2}\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\frac{1}{2}}\left( -1,-2\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left[ x_{1}-\left( -1\right) \right] ^{2}+\left[ x_{2}-\left(
-2\right) \right] ^{2}<\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}+1\right) ^{2}+\left( x_{2}+2\right) ^{2}<\frac{1}{4}\right\}
\end{eqnarray*}です。

例(離散空間における点の近傍)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。点\(a\in X\)が与えられたとき、離散距離\(d\)の定義より、それぞれの点\(x\in X\)と先の点\(a\)の間の距離は\(0\)または\(1\)のどちらか一方です。点\(a\)からの距離が\(1\)未満の場所にある\(X\)上の点は\(a\)自身だけであるため、\(0<\varepsilon \leq 1\)の場合には、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ a\right\} \quad \because \varepsilon \leq 1
\end{eqnarray*}となる一方、点\(a\)からの距離が\(1\)以上にある\(X\)上の点は\(X\)上のすべての点であるため、\(\varepsilon>1\)の場合には、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&X\quad \because \varepsilon >1
\end{eqnarray*}となります。結果をまとめると、点\(a\in X\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left\{ a\right\} & \left( if\ 0<\varepsilon \leq 1\right) \\
X & \left( if\ \varepsilon >1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}N_{\frac{1}{2}}\left( a\right) &=&\left\{ a\right\} \\
N_{1}\left( a\right) &=&\left\{ a\right\} \\
N_{2}\left( a\right) &=&X
\end{eqnarray*}などとなります。

 

点の近傍系

距離空間上の点\(a\in X\)が与えられたとき、半径\(\varepsilon >0\)の大きさに応じて様々な半径を持つ点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が得られます。そこで、点\(a\)の近傍をすべて集めてできる集合族を、\begin{equation*}N\left( a\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)の近傍系(neighborhood system of \(a\))と呼びます。

距離空間上の点\(a\in X\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( a,a\right) &=&0\quad \because \text{距離の不可識別同一性} \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
a\in N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}であることを意味します。点\(a\)の近傍は中心を要素として持つということです。任意の半径\(\varepsilon \)について同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:a\in N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。共通部分の定義より、これは、\begin{equation*}
a\in \bigcap\limits_{\varepsilon >0}N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a\in \bigcap N\left( a\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、点\(a\)は自身の近傍系\(N\left( a\right) \)の共通部分の要素です。さらに、点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の共通部分の要素は点\(a\)以外に存在しません(演習問題)。したがって以下を得ます。

命題(点の近傍系の性質)
距離空間\(X\)上の点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcap N\left( a\right) =\left\{ a\right\}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(N\left( a\right) \)は点\(a\)の近傍系である。
証明

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距離空間上の点\(a\in X\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の要素、すなわち点\(a\)の近傍を2つ任意に選び、それらを\(N_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \)と\(N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right) \)でそれぞれ表記します。近傍の定義より\(\varepsilon _{1}>0\)かつ\(\varepsilon _{2}>0\)です。このとき、この2つの近傍の双方に含まれる点\(a\)の近傍が存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset
N_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです(演習問題)。

命題(点の近傍系の性質)
距離空間\(X\)上の点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon _{1}>0,\ \forall \varepsilon _{2}>0,\ \exists
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset N_{\varepsilon
_{1}}\left( a\right) \cap N_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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つまり、距離空間上の点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の2つの要素を任意に選んだとき、それらの共通部分の部分集合であるような\(N\left( a\right) \)の要素が必ず存在するということです。つまり、上の命題を一般的な形で表現すると、それぞれの点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\forall A\in N\left( a\right) ,\ \forall B\in N\left( a\right) ,\ \exists
C\in N\left( a\right) :C\subset A\cap B
\end{equation*}が成り立つという主張になります。このような意味において、上の命題は点の近傍系の性質を記述したものになっています。

 

距離空間の近傍系

距離空間上の点\(a\in X\)に応じて中心が異なる様々な近傍系\(N\left( a\right) \)が得られます。そこで、\(X\)上のすべての点の近傍系からなる集合族を、\begin{equation*}N=\left\{ N\left( a\right) \ |\ a\in X\right\}
\end{equation*}で表記し、これを距離空間\(X\)の近傍系(neighbourhood system of \(X\))と呼びます。

距離空間上の点\(a\in X\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)をとります。この近傍に属する点\(b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、この点\(b\)の近傍の中に、先の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合であるようなものが存在することが保証されます。つまり、近傍\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) ,\ \exists \delta >0:N_{\delta
}\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(近傍系の性質)
距離空間\(X\)上の点\(a\in X\)と半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で近傍\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)をとったとき、それに対して、\begin{equation*}\forall b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) ,\ \exists \delta >0:N_{\delta
}\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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部分距離空間の点の近傍

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられたとき、その部分集合\(S\subset X\)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(S\times S\)へ制限して\(d_{S}:S\times S\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in S\times S:d_{S}\left( x,y\right) =d\left(
x,y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{S}\)を定義すれば、この\(d_{S}\)は距離の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in S:d_{S}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in S:\left[ d_{S}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in S:d_{S}(x,y)=d_{S}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in S:d_{S}\left( x,z\right) \leq
d_{S}\left( x,y\right) +d_{S}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( S,d_{S}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間と呼びます。

部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても、その点の近傍を定義できます。具体的には以下の通りです。

距離空間\(\left( X,d\right) \)の部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(a\in S\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(S\)の点からなる集合であり、これを、\begin{equation*}N_{\varepsilon }^{S}\left( a\right) =\left\{ x\in S\ |\ d_{S}\left(
x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記します。ちなみに、\(S\subset X\)ゆえに\(a\in X\)であるため、もとの距離空間\(\left( X,d\right) \)上においてもこの点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとることができます。

同一の点\(a\in S\subset X\)と半径\(\varepsilon >0\)を問題としている場合においても、部分空間\(S\)における点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }^{S}\left( a\right) \)と、もとの距離空間\(X\)におけるその点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(部分距離空間の点の近傍)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。以下の部分集合\begin{equation*}
S=\left[ 0,1\right] \end{equation*}に注目した上で部分距離空間\(\left( S,d_{S}\right) \)をとります。部分距離空間\(S\)において点\(0\in S\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{S}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in S\ |\ d_{S}\left(
x,0\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \left\vert x-0\right\vert
<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ -\varepsilon <x<\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\lbrack 0,\varepsilon ) & \left( if\ s\leq 1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ \varepsilon >1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}であるのに対して、もとの距離空間\(\mathbb{R} \)において点\(0\in X\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,0\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-0\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\varepsilon <x<\varepsilon \right\} \\
&=&\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}であるため、両者は異なります。

 

演習問題

問題(マンハッタン距離のもとでの点の近傍)
\(2\)次元のマンハッタン空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d\right) \)は距離空間であり、マンハッタン距離\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert +\left\vert
x_{2}-y_{2}\right\vert
\end{equation*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を定式化してください。その上で、点\(\left(0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の近傍\begin{equation*}N_{1}\left( 0,0\right)
\end{equation*}を図示してください。

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問題(チェビシェフ距離のもとでの点の近傍)
\(2\)次元のチェビシェフ空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d\right) \)は距離空間であり、チェビシェフ距離\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\max \left\{ \left\vert x_{1}-y_{1}\right\vert
,\left\vert x_{2}-y_{2}\right\vert \right\}
\end{equation*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を定式化してください。その上で、点\(\left(0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の近傍\begin{equation*}N_{1}\left( 0,0\right)
\end{equation*}を図示してください。

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問題(点の近傍)
距離空間\(X\)上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の部分集合\(A\subset X\)について、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)を\(a\)の近傍と呼びます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は半径が\(\varepsilon \)であるような点\(a\)の近傍です。

  1. 点\(a\in X\)の任意の近傍は\(a\)を要素として持つことを示してください。
  2. 点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)から定義される以下の集合\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right) \leq\varepsilon \right\}
    \end{equation*}は点\(a\)の近傍であることを示してください。このような集合\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)を\(a\)の閉近傍(closed neighborhood of \(a\))と呼びます。
  3. \(X\)の部分集合である\(A\)と\(B\)がともに点\(a\in X\)の近傍であるならば\(A\cap B\)もまた\(a\)の近傍であることを示してください。
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