漸近理論

確率変数列が独立同一分布にしたがう場合、標本平均の列はもとの確率変数列が共有する期待値に確率収束します。つまり、各回の結果が同一かつ独立な確率分布から決定される試行を繰り返す場合、試行回数を限りなく増やすにつれて、結果の平均は、各回の試行の期待値に限りなく近づきます。

有限かつ独立な確率変数列を構成する個々の確率変数の期待値がゼロであるとともに分散が有限である場合、その確率変数列の部分和として定義される確率変数がある値以上の値をとる確率の上限を特定できます。コルモゴロフの不等式はチェビシェフの不等式の一般化です。

確率変数列が独立であるとともに個々の確率変数の期待値がゼロであり、なおかつ分散の総和が有限である場合、その確率変数列のもとでの実現値に関する無限級数はほとんど確実に収束します。これをヒンチン=コルモゴロフの収束定理と呼びます。

独立な確率変数列の無限級数が収束するという事象はその確率変数列の末尾事象であるため、コルモゴロフの0-1法則より、その事象の確率は0または1のどちらか一方に定まります。その確率が1であるための必要十分条件を与えるのがコルモゴロフの三級数定理です。

確率変数列が独立同一分布にしたがう場合、標本平均の列はもとの確率変数列が共有する期待値に概収束します。これをコルモゴロフの大数の強法則と呼びます。