離散型の確率変数列
「コインを1回投げる」という試行の標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}であるように、試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りません。確率に関して定量的な分析を行うためには、それぞれの標本点を数値として表現できれば何かと便利です。このような事情を踏まえた上で、問題としている試行に関する確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}という概念を導入しました。
問題としている試行のもとで確率変数\(X\)がとり得る値の範囲\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}は分かっていますが、試行はランダムネスによって支配されているため、\(X\left( \Omega \right) \)の中のどの値が実際に実現するかを事前に特定できません。したがって、何らかの手段を通じての中のどの値が実際に実現するかを予測する必要があります。
その際、同一の試行を繰り返し行う状況を想定した上で、その結果を総体的に観察したときに、物事の起こりやすさについて法則を発見できれば、それは有益な成果であると言えます。つまり、\(n\)回目の試行において起こり得る結果を確率変数\(X_{n}\)として表現した上で、確率変数の列\begin{equation*}X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n},\cdots
\end{equation*}の挙動を観察し、そこから何らかの法則を引き出すということです。このようなアプローチの他にも、確率変数の列は様々な形で活用されます。そこで、ここでは確率変数の列という概念について整理します。
定義域として同一の標本空間\(\Omega \)を共有する無限個の確率変数\begin{eqnarray*}X_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
X_{2} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を順番に並べたもの\begin{equation*}
X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n},\cdots
\end{equation*}を確率変数の列（sequence of random variables）と呼び、これを、\begin{equation*}
\left\{ X_{n}\right\} _{n=1}^{\infty },\quad \left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} },\quad \left\{ X_{n}\right\}
\end{equation*}などで表記します。
自然数を\(1\)から始まる整数と定義するのであれば、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)を構成する前から\(n\)番目の確率変数は\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であり、これを確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の第\(n\)項（\(n\)-th term）と呼びます。特に、確率変数列の最初の項\(X_{1}\)を初項（first term）と呼びます。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の第\(n\)項\(X_{n}\)が具体的な形で与えられているならば、\(X_{n}\)中の\(n\)に具体的な自然数を代入することによりすべての項を具体的な形で特定できます。つまり、\(X_{n}\)は確率変数列のすべての項を一般的に表現したものであるため、これを確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項（general term）と呼ぶこともあります。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項\(X_{n}\)の形が分かっている場合には、その関数列を「一般項が\(X_{n}\)の確率変数列」と呼ぶこともできます。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)に含まれる確率変数がいずれも離散型の確率変数である場合には、すなわち、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\(X_{n}\)の値域\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が有限集合または可算集合である場合には、\(\left\{ X_{n}\right\} \)を離散型の確率変数列（discrete sequence of random variables）と呼びます。
\left( \text{表},\text{裏},\text{裏},\text{表},\cdots \right)
\end{equation*}のような「表」と「裏」から構成される無限列として表されます。\(n\)回目のコイン投げの結果を、\begin{equation*}\omega _{n}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}と表記するのであれば、それぞれの標本点を、\begin{equation*}
\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化できます。この試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\} ^{\mathbb{N} }
\end{equation*}です。自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{n}=\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{n}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率変数\begin{equation*}
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X_{n}\)は問題としている試行のもとで「\(n\)回目に表が出た回数」を値としてとる確率変数です。\(X_{n}\)の値域は、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 1,0\right\}
\end{equation*}という有限集合であるため、これは離散型の確率変数です。それぞれの自然数\(n\)には確率変数\(X_{n}\)が1つずつ対応するため、ここから離散型の確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\}
\end{equation*}が得られます。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項である個々の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n},\cdots \)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}X_{1}\left( \omega \right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{1}=\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{1}=\text{裏}\right)
\end{array}\right. \\
X_{2}\left( \omega \right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{2}=\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{2}=\text{裏}\right)
\end{array}\right. \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \omega \right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{n}=\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega _{n}=\text{裏}\right)
\end{array}\right. \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。
\left( 875403,873411,882123,889063,\cdots \right)
\end{equation*}のような無限個の自然数の列として表されます。\(n\)年目の人口の観測値を、\begin{equation*}\omega _{n}\in \mathbb{N} \end{equation*}と表記するのであれば、それぞれの標本点を、\begin{equation*}
\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化できます。この試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\mathbb{N} ^{\mathbb{N} }
\end{equation*}です。自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\omega _{n}
\end{equation*}を定める確率変数\begin{equation*}
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X_{n}\)は問題としている試行のもとでの「\(n\)年目の人口の観測値」を特定する確率変数です。\(X_{n}\)の値域は、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\mathbb{N} \end{equation*}という可算集合であるため、これは離散型の確率変数です。それぞれの自然数\(n\)には確率変数\(X_{n}\)が1つずつ対応するため、ここから離散型の確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\}
\end{equation*}が得られます。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項である個々の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n},\cdots \)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}X_{1}\left( \omega \right) &=&\omega _{1}=1\text{年目の人口の観測値} \\
X_{2}\left( \omega \right) &=&\omega _{2}=2\text{年目の人口の観測値} \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \omega \right) &=&\omega _{n}=n\text{年目の人口の観測値} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。
\left( 1,0,3,0,\cdots \right)
\end{equation*}のような無限個の自然数の列として表されます。\(n\)試合目の得点数を、\begin{equation*}\omega _{n}\in \mathbb{N} \end{equation*}と表記するのであれば、それぞれの標本点を、\begin{equation*}
\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化できます。この試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\mathbb{N} ^{\mathbb{N} }
\end{equation*}です。自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\omega _{n}
\end{equation*}を定める確率変数\begin{equation*}
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X_{n}\)は問題としている試行のもとでの「\(n\)試合目の得点数」を特定する確率変数です。\(X_{n}\)の値域は、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\mathbb{N} \end{equation*}という可算集合であるため、これは離散型の確率変数です。それぞれの自然数\(n\)には確率変数\(X_{n}\)が1つずつ対応するため、ここから離散型の確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\}
\end{equation*}が得られます。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項である個々の確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n},\cdots \)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}X_{1}\left( \omega \right) &=&\omega _{1}=1\text{試合目の得点数} \\
X_{2}\left( \omega \right) &=&\omega _{2}=2\text{試合目の得点数} \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \omega \right) &=&\omega _{n}=n\text{試合目の得点数} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。
確率変数列は離散型であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\omega ^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の項である確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots \)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}X_{1}\left( \omega \right) &=&\omega \\
X_{2}\left( \omega \right) &=&\omega ^{2} \\
&&\vdots \\
X_{n}\left( \omega \right) &=&\omega ^{n} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}です。\(X_{n}\)の値域は、\begin{eqnarray*}X_{n}\left( \Omega \right) &=&\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ \omega ^{n}\in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}ですが、これは非可算集合であるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は離散型の確率変数列ではありません。
以上の例のように、確率変数列の項が連続型の確率変数である場合、そのような確率変数列を連続型の確率変数列と呼びます。連続型の確率変数列については後ほど扱うこととし、以降では離散型の確率変数のみを考察対象とします。
演習問題
\left( 3,1,4,1,\cdots \right)
\end{equation*}のような\(1\)から\(6\)までの整数から構成される無限列として表されます。この試行の標本空間\(\Omega \)を定式化してください。さらに、一般項\(X_{n}\)が「\(n\)回目に出た目」を特定する確率変数であるような確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)を定式化してください。
\left( \text{表},\text{裏},\text{裏},\text{表},\cdots \right)
\end{equation*}のような「表」と「裏」から構成される無限列として表されます。この試行の標本空間\(\Omega \)を定式化してください。さらに、一般項\(X_{n}\)が「\(n\)回目までに表が出た回数の合計」を特定する確率変数であるような確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)を定式化してください。
\end{equation*}であるものとします。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left( 1+\frac{1}{n}\right) X\left( \omega
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の最初の3つの項\(X_{1},X_{2},X_{3}\)を具体的に特定してください。
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