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連続型の確率分布

連続型確率変数の分布関数から導かれる確率

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確率分布としての分布関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、確率変数\(X\)の値\(x\)が区間\(I\subset \mathbb{R} \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in I\right) =\int_{I}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}です。確率密度関数\(f_{X}\)が与えられれば連続型の確率変数\(X\)の確率分布を総体的に記述できるということです。

連続型の確率変数\(X\)の確率分布を描写する手段は確率密度関数\(f_{X}\)に限定されず、その代替的な手法として分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を導入しました。つまり、\(F_{X}\)がそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\(X\)が\(x\)以下の値をとる確率\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =P\left( X\leq x\right)
\end{equation*}です。加えて、分布関数\(F_{X}\)と確率密度関数\(f_{X}\)の間には以下の関係\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成立します。

分布関数\(F_{X}\)によって連続型の確率変数\(X\)の確率分布を総体的に記述できるのでしょうか。確率密度関数\(f_{X}\)が連続である場合には、微分積分学の基本定理より以下の関係\begin{equation*}\frac{d}{dx}F_{X}\left( x\right) =f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、分布関数\(F_{X}\)から確率密度関数\(f_{X}\)を導出できます。したがって、分布関数\(F_{X}\)もまた連続型の確率変数\(X\)の確率分布を描写する手段であると言えます。以上が一般論です。実際、分布関数\(F_{X}\)は確率変数\(X\)の分布に関する豊富な情報を含んでいるため、そこから様々な確率を導くことができます。以下で順番に解説します。

 

確率変数がある値より大きい値をとる確率

確率変数がある値よりも大きい値をとる確率は以下のようにして導出できます。

命題(確率変数がある値より大きい値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P\left( X>x\right) =1-F_{X}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(確率変数がある値より大きい値をとる確率)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x^{2}}{2} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
-\frac{x^{2}}{2}+2x-1 & \left( if\ 1<x\leq 2\right) \\
1 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X>0\right) &=&1-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&1-\frac{0^{2}}{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>\frac{1}{2}\right) &=&1-F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}{2}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\frac{7}{8}
\end{eqnarray*}となります。

連続型の確率変数\(X\)が特定の値\(x\)をとる確率は\(0\)であることを踏まえると、\begin{equation*}P\left( X\geq x\right) =P\left( X>x\right)
\end{equation*}を得るため、これと上の命題より以下を得ます。

命題(確率変数がある値以上の値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}P\left( X\geq x\right) &=&P\left( X>x\right) \\
&=&1-F_{X}\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つ。

 

確率変数の値が区間におさまる確率

確率変数の値が区間におさまる確率は以下のようにして導出できます。

命題(確率変数の値が区間におさまる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\(x_{1}<x_{2}\)を満たす\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( x_{1}<X\leq x_{2}\right) =F_{X}\left( x_{2}\right) -F_{X}\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(確率変数の値が区間におさまる確率)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x^{2}}{2} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
-\frac{x^{2}}{2}+2x-1 & \left( if\ 1<x\leq 2\right) \\
1 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( \frac{1}{2}<X\leq 2\right) &=&F_{X}\left( 2\right) -F_{X}\left(
\frac{1}{2}\right) \\
&=&\left( -\frac{2^{2}}{2}+2\cdot 2-1\right) -\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{7}{8}
\end{eqnarray*}となります。

連続型の確率変数\(X\)が特定の値\(x_{1},x_{2}\)をとる確率は\(0\)であることを踏まえると、\begin{equation*}P\left( x_{1}\leq X\leq x_{2}\right) =P\left( x_{1}\leq X<x_{2}\right)
=P\left( x_{1}<X\leq x_{2}\right) =P\left( x_{1}<X<x_{2}\right)
\end{equation*}を得るため、これと上の命題より以下を得ます。

命題(確率変数の値が区間におさまる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\(x_{1}<x_{2}\)を満たす\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1}\leq X\leq x_{2}\right) &=&P\left( x_{1}\leq X<x_{2}\right) \\
&=&P\left( x_{1}<X\leq x_{2}\right) \\
&=&P\left( x_{1}<X<x_{2}\right) \\
&=&F_{X}\left( x_{2}\right) -F_{X}\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

 

確率変数がある値より小さい値をとる確率

確率変数がある値より小さい値をとる確率は以下のようにして導出できます。

命題(確率変数がある値より小さい値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( X<x\right) =F_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

例(確率変数がある値より小さい値をとる確率)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であり、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x^{2}}{2} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
-\frac{x^{2}}{2}+2x-1 & \left( if\ 1<x\leq 2\right) \\
1 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X<\frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{8}
\end{eqnarray*}となります。

分布関数の定義と上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(確率変数がある値より小さい値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( X<x\right) &=&P\left( X\leq x\right) \\
&=&F_{X}\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

 

確率変数がある値をとる確率

連続型の確率変数がある値をとる確率はゼロです。

命題(確率変数がある値をとる確率)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)と連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するならば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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