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連続型の確率分布

連続型の同時確率変数(確率ベクトル)

目次

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連続型の同時確率変数

「コインを1回投げる」という試行の標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}であるように、試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りません。確率に関して定量的な分析を行うためには、それぞれの標本点を数値として表現できれば何かと便利です。そこで、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}という概念を導入しました。

確率変数を利用すれば標本点が持つ特定の属性を数値化できます。ただ、確率変数はそれぞれの標本点に対して実数を1つずつ定めるルールであるため、標本点が持つ複数の属性を同時に扱うことはできません。標本点が持つ複数の属性の関係性を分析するためには複数の確率変数を同時に扱う必要があります。まずは、2つの確率変数を同時に扱う方法について解説します。

問題としている試行に関する2つの連続型確率変数\begin{eqnarray*}
X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。つまり、これらの値域\begin{eqnarray*}
X\left( \Omega \right) &=&\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
Y\left( \Omega \right) &=&\left\{ Y\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{eqnarray*}がともに数直線\(\mathbb{R} \)上の区間や互いに素な区間の和集合であるということです。これらの確率変数はそれぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}X\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \\
Y\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を1つずつ定めます。以上の2つの確率変数\(X,Y\)が与えられれば、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、2次元ベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を1つずつ定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。これを連続型の同時確率変数(continuous joint random variable)や連続型の確率ベクトル(continuous random vector)などと呼びます。

例(連続型の同時確率変数)
「気候を観測する」という試行について考えます。観測した降雨量を\(\omega _{1}\)で、日照時間を\(\omega _{2}\)でそれぞれ表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \ |\ \forall i\in
\left\{ 1,2\right\} :0\leq \omega _{i}<+\infty \right\}
\end{equation*}となります。「降雨量」と「日照時間」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「降雨量」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) =\omega _{1}
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =[0,+\infty )
\end{equation*}という区間であるため、\(X\)は連続型の確率変数です。「日照時間」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) =\omega _{2}
\end{equation*}を定めます。この確率変数の値域は、\begin{equation*}
Y\left( \Omega \right) =[0,+\infty )
\end{equation*}という区間であるため、\(Y\)は連続型の確率変数です。連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) &=&\left( X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) ,Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \\
&=&\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。この同時確率変数の値域は、\begin{eqnarray*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) &=&[0,+\infty )\times \lbrack
0,+\infty ) \\
&=&X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right)
\end{eqnarray*}です。

例(連続型の同時確率変数の値域)
「平面上の4つの点\(\left(0,0\right) ,\left( 0,1\right) ,\left( 1,0\right) ,\left( 1,1\right) \)を頂点とする正方形またはその内部の1点を選ぶ」という試行において、標本空間\(\Omega \)は問題としている正方形の辺および内部の点からなる集合\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}です。「選ばれた点の\(x\)座標」と「選ばれた点の\(y\)座標」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「選ばれた点の\(x\)座標」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めますが、その値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}という区間であるため、\(X\)は連続型の確率変数です。「選ばれた点の\(y\)座標」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めますが、その値域は、\begin{equation*}
Y\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}という区間であるため、\(Y\)は連続型の確率変数です。連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( x,y\right) &=&\left( X\left( x,y\right) ,Y\left(
x,y\right) \right) \\
&=&\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}を定めますが、その値域は、\begin{eqnarray*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\} \\
&=&X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right)
\end{eqnarray*}です。

 

同時確率変数の値域

同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) &=&\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&\in &X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \subset X\left( \Omega \right)
\times Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}を満たします。つまり、\(\left( X,Y\right) \)の値域は\(X\)の値域と\(Y\)の値域の直積の部分集合です。ちなみに、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =X\left( \Omega \right) \times
Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}という関係は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(連続型の同時確率変数の値域)
「平面上の3つの点\(\left(0,0\right) ,\left( 1,0\right) ,\left( 1,1\right) \)を頂点とする三角形上またはその内部の1点を選ぶ」という試行において、標本空間\(\Omega \)は問題としている三角形の辺および内部の点からなる集合\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq y\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}です。「選ばれた点の\(x\)座標」と「選ばれた点の\(y\)座標」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「選ばれた点の\(x\)座標」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めますが、その値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。「選ばれた点の\(y\)座標」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めますが、その値域は、\begin{equation*}
Y\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}となります。同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( x,y\right) &=&\left( X\left( x,y\right) ,Y\left(
x,y\right) \right) \\
&=&\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}を定めますが、その値域は、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq y\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}です。以上より、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \subset X\left( \Omega \right)
\times Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立つ一方で、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =X\left( \Omega \right) \times
Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立たないことが明らかになりました。例えば、点\(\left( 0,1\right) \)は\(X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right) \)の要素ですが\(\left( X,Y\right) \left( \Omega\right) \)の点ではありません。

 

演習問題

問題(連続型の同時確率変数)
「身体測定を行う」という試行において、測定した「身長」と「体重」の関係性を分析するためにはどのような同時確率変数を利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。

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問題(連続型の同時確率変数)
「平面上の4つの点\(\left(0,0\right) ,\left( 0,1\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) \)を頂点とする平行四辺形上またはその内部の1点を選ぶ」という試行において、「選ばれた点の\(x\)座標」と「選ばれた点の\(y\)座標」の関係性を分析するためにはどのような同時確率変数を利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。
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