WIIS

連続型の確率分布

連続型の同時確率変数

目次

Mailで保存
Xで共有

同時確率変数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて2つの確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられれば、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を値として定めるベクトル値写像\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能であるとともに、これが同時確率変数になることが保証されます。

同時確率変数の定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left( X,Y\right) ^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のボレル集合族である。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)を任意に選んだとき、「\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(\left( X,Y\right) \)を同時確率変数と呼ぶということです。

以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、「同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left( X,Y\right) \left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{XY}\left( B\right) =P\left( \left( X,Y\right) \in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{XY}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布(joint distribution)と呼びます。

ベクトル値写像\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が同時確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left(
\omega \right) \leq y\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることは、写像\(\left( X,Y\right) \)が同時確率変数であるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、「\(X\)の実現値が\(x\)以下かつ\(Y\)の実現値が\(y\)以下」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\wedge Y\left( \omega \right) \leq y\right\}
\right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の同時分布関数(joint distribution function)と呼びます。

 

連続型の同時確率変数

同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が連続関数である場合には、すなわち、任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) =F_{XY}\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( X,Y\right) \)を連続型の同時確率変数(continuous joint random variable)と呼びます。

例(連続型の同時確率変数)
標本空間が平面上の有界閉区間\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、確率測度\(P:\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度\begin{equation*}\mu :\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を採用すれば、これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。「\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上の点を1つランダムに選ぶ」という試行に興味がある場合、それぞれの標本点\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right)
&=&\left( X\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) ,Y\left(
\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \right) \\
&=&\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を導入することになります。この写像の値域は、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left(
\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \leq x\wedge Y\left( \left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \leq y\right\} \\
&=&\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \ |\ \omega _{1}\leq x\wedge \omega _{2}\leq
y\right\} \quad \because \Omega \text{および}\left(
X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
\left[ 0,x\right] \times \left[ 0,y\right] & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
0\leq y\leq 1\right) \\
\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,y\right] & \left( if\ x>1\wedge 0\leq
y\leq 1\right) \\
\left[ 0,x\right] \times \left[ 0,1\right] & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
y>1\right) \\
\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] & \left( if\ x>1\wedge
y>1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\\
&=&\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left( X,Y\right) \)は同時確率変数です。同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{XY}\left( x,y\right) &=&P\left( \left\{ \left( \omega _{1},\omega
_{2}\right) \in \Omega \ |\ X\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \leq x\wedge Y\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right)
\leq y\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \ |\ \omega _{1}\leq x\wedge \omega
_{2}\leq y\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
P\left( \left[ 0,x\right] \times \left[ 0,y\right] \right) & \left( if\
0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
P\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,y\right] \right) & \left( if\
x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
P\left( \left[ 0,x\right] \times \left[ 0,1\right] \right) & \left( if\
0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
P\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) & \left( if\
x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。この同時分布関数\(F_{XY}\)は連続です。実際、\(a<0\)または\(b<0\)を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }0 \\
&=&0 \\
&=&F_{XY}\left( a,b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{XY}\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。点\(\left( 0,0\right) \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) &=&0 \\
&=&F_{XY}\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{XY}\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続です。\(\ 0<a<1\)かつ\(0<b<1\)を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }F_{XY}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }xy \\
&=&ab \\
&=&F_{XY}\left( a,b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{XY}\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。その他の点についても同様であるため、\(F_{XY}\)は連続関数であることが明らかになりました。したがって、\(\left( X,Y\right) \)は連続型の同時確率変数です。

 

絶対連続型の同時確率変数

同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) :P\left( \left( X,Y\right) \in B\right) =\int
\int_{B}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を満たすルベーグ積分可能な関数\begin{equation*}
f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在する場合には、\(\left( X,Y\right) \)を絶対連続型の同時確率変数(absolutely continuous joint random variable)と呼びます。その上で、この関数\(f_{XY}\)を同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数(joint probability density function)と呼びます。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}\)とほとんどいたるところで一致する関数もまた\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数です。

命題(同時確率密度関数の特徴づけ)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、絶対連続型の同時確率変数\(\left(X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとする。また、\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数であるものとする。関数\(g_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、\begin{equation*}f_{XY}=g_{XY}\quad a.e.
\end{equation*}が成り立つことは、\(g_{XY}\)が\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

以上の命題を踏まえると、同時確率密度関数を以下のように表現することもできます。

命題(同時確率密度関数の特徴づけ)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、絶対連続型の同時確率変数\(\left(X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)とその同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。ルベーグ積分可能な関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)について、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立つことは、\(f_{XY}\)が同時確率密度関数であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(絶対連続型の同時確率変数)
標本空間が平面上の有界閉区間\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、確率測度\(P:\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度\begin{equation*}\mu :\mathcal{B}\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を採用すれば、これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。先に示したように、それぞれの標本点\(\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right)
&=&\left( X\left( \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) ,Y\left(
\left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \right) \right) \\
&=&\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}は連続型の同時確率変数であり、同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\right) \\
xy & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
y & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、\(x<0\)または\(y<0\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}0dudv \\
&=&0 \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(0\leq x\leq 1\)かつ\(0\leq y\leq 1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{x}\int_{v=0}^{y}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \int_{u=0}^{x}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{x}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}xdv \\
&=&x\int_{v=0}^{y}1dv \\
&=&x\left[ v\right] _{v=0}^{y} \\
&=&xy \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(x>1\)かつ\(0\leq y\leq 1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{y}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \int_{u=0}^{1}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{1}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{y}1dv \\
&=&\left[ v\right] _{v=0}^{y} \\
&=&y \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(0\leq x\leq 1\)かつ\(y>1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{x}\int_{v=0}^{1}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \int_{u=0}^{x}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{x}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}xdv \\
&=&x\int_{v=0}^{1}1dv \\
&=&x\left[ v\right] _{v=0}^{1} \\
&=&x \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となり、\(x>1\)かつ\(y>1\)を満たす\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty }^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
&=&\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1}1dudv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \int_{u=0}^{1}1du\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}\left( \left[ u\right] _{u=0}^{1}\right) dv \\
&=&\int_{v=0}^{1}1dv \\
&=&\left[ v\right] _{v=0}^{1} \\
&=&1 \\
&=&F_{XY}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =\int_{u=-\infty }^{x}\int_{v=-\infty
}^{y}f_{XY}\left( u,v\right) dudv
\end{equation*}が成り立つことが明らかになったため、先の命題より、\(f_{XY}\)は\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数です。したがって、\(\left( X,Y\right) \)は絶対連続型の同時確率変数でもあります。

 

同時確率変数の値域

同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) &=&\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&\in &X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \subset X\left( \Omega \right)
\times Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}を満たします。つまり、\(\left( X,Y\right) \)の値域は\(X\)の値域と\(Y\)の値域の直積の部分集合です。ちなみに、以下の関係\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =X\left( \Omega \right) \times
Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(連続型の同時確率変数の値域)
「平面上の3つの点\(\left(0,0\right) ,\left( 1,0\right) ,\left( 1,1\right) \)を頂点とする三角形上またはその内部の1点を選ぶ」という試行において、標本空間\(\Omega \)は三角形の辺および内部の点からなる集合\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x+y\leq 1\right\}
\end{equation*}です。「選ばれた点の\(x\)座標」と「選ばれた点の\(y\)座標」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。「選ばれた点の\(x\)座標」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めますが、その値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。「選ばれた点の\(y\)座標」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めますが、その値域は、\begin{equation*}
Y\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。したがって、\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}となります。同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの標本点\(\left( x,y\right) \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( x,y\right) &=&\left( X\left( x,y\right) ,Y\left(
x,y\right) \right) \\
&=&\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}を定めますが、その値域は、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq y\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}です。以上より、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \subset X\left( \Omega \right)
\times Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立つ一方で、\begin{equation*}
\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =X\left( \Omega \right) \times
Y\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立たないことが明らかになりました。例えば、点\(\left( 0,1\right) \)は\(X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right) \)の要素ですが\(\left( X,Y\right) \left( \Omega\right) \)の点ではありません。

 

演習問題

問題(連続型の同時確率変数)
「身体測定を行う」という試行において、測定した「身長」と「体重」の関係性を分析するためにはどのような同時確率変数を利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(連続型の同時確率変数)
「平面上の4つの点\(\left(0,0\right) ,\left( 0,1\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) \)を頂点とする平行四辺形上またはその内部の1点を選ぶ」という試行において、「選ばれた点の\(x\)座標」と「選ばれた点の\(y\)座標」の関係性を分析するためにはどのような同時確率変数を利用すればよいでしょうか。定式化してください。また、その値域を明らかにしてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録