連続型同時確率変数のクロスモーメント（交差積率）

連続型同時確率変数のクロスモーメント

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の同時確率変数\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(\left( X,Y\right) \)の同時分布が同時確率密度関数\begin{equation*}f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、\(\left( X,Y\right) \)の実現値が集合\(A\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)に属する確率が、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\right) =\int \int_{A}f_{XY}\left( x,y\right)
dxdy
\end{equation*}であるということです。

2つの非負の整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} _{+}\)を任意に選んだとき、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) \left( \omega \right) =X^{z_{1}}\left(
\omega \right) \cdot Y^{z_{2}}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める新たな確率変数\begin{equation*}
X^{z_{1}}Y^{z_{2}}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{eqnarray*}
X^{0} &=&1 \\
Y^{0} &=&1
\end{eqnarray*}と定めます。LOTUSを用いると、この確率変数\(X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\)の期待値が、\begin{equation*}E\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) =\int_{x=-\infty }^{+\infty
}\int_{y=-\infty }^{+\infty }\left[ x^{z_{1}}\cdot y^{z_{2}}\cdot
f_{XY}\left( x,y\right) \right] dxdy
\end{equation*}と定まります。なお、この期待値を、\begin{equation*}
\mu \left( z_{1},z_{2}\right) =E\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right)
\end{equation*}と表記することもできます。いずれにせよ、\begin{equation*}
z=z_{1}+z_{2}
\end{equation*}である場合、この期待値\(E\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) \)を同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の\(z\)次のクロスモーメント（\(z\) the cross moment）や原点まわりの\(z\)次のクロスモーメント（\(z\) the cross moment about the origin）などと呼びます。クロスモーメントを交差積率（cross moment）と呼ぶ場合もあります。

非負の整数\(z\in \mathbb{Z} _{+}\)が与えられたとき、それに対して\(z=z_{1}+z_{2}\)を満たす非負の整数の組\(\left( z_{1},z_{2}\right) \in \mathbb{Z} _{+}^{2}\)は全部で\(z+1\)通り存在します。したがって、同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の\(z\)次のクロスモーメントは全部で\(z+1\)通り存在します。具体的には、\begin{eqnarray*}E\left( X^{0}Y^{z}\right) &=&E\left( Y^{z}\right) \\
E\left( X^{1}Y^{z-1}\right) &=&\int_{x=-\infty }^{+\infty }\int_{y=-\infty
}^{+\infty }\left[ x\cdot y^{z-1}\cdot f_{XY}\left( x,y\right) \right] dxdy
\\
E\left( X^{2}Y^{z-2}\right) &=&\int_{x=-\infty }^{+\infty }\int_{y=-\infty
}^{+\infty }\left[ x^{2}\cdot y^{z-2}\cdot f_{XY}\left( x,y\right) \right] dxdy \\
&&\vdots \\
E\left( X^{z-1}Y^{1}\right) &=&\int_{x=-\infty }^{+\infty }\int_{y=-\infty
}^{+\infty }\left[ x^{z-1}\cdot y\cdot f_{XY}\left( x,y\right) \right] dxdy
\\
E\left( X^{z}Y^{0}\right) &=&E\left( X^{z}\right)
\end{eqnarray*}などがそれらに該当します。

クロスモーメントと期待値の関係

同時確率変数のクロスモーメントと期待値の間には以下の関係が成立します。

クロスモーメントと共分散の関係

同時確率変数のクロスモーメントと共分散の間には以下の関係が成立します。

特定のベクトルのまわりのクロスモーメント

絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時分布が同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。2つの非負の整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{R} _{+}\)とベクトル\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( \left( X-a_{1}\right) ^{z_{1}}\left( Y-a_{2}\right) ^{z_{2}}\right)
\left( \omega \right) =\left( X-a_{1}\right) ^{z_{1}}\left( \omega \right)
\cdot \left( Y-a_{2}\right) ^{z_{2}}\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める新たな確率変数\begin{equation*}
\left( X-a_{1}\right) ^{z_{1}}\left( Y-a_{2}\right) ^{z_{2}}:\Omega
\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。LOTUSを用いると、この確率変数\(\left( X-a_{1}\right) ^{z_{1}}\left( Y-a_{2}\right) ^{z_{2}}\)の期待値が、\begin{equation*}E\left( \left( X-a_{1}\right) ^{z_{1}}\left( Y-a_{2}\right) ^{z_{2}}\right)
=\int_{x=-\infty }^{+\infty }\int_{y=-\infty }^{+\infty }\left[ \left(
x-a_{1}\right) ^{z_{1}}\cdot \left( y-a_{2}\right) ^{z_{2}}\cdot
f_{XY}\left( x,y\right) \right] dxdy
\end{equation*}と定まります。そこで、\begin{equation*}
z=z_{1}+z_{2}
\end{equation*}である場合、この期待値\(E\left( \left( X-a_{1}\right) ^{z_{1}}\left( Y-a_{2}\right)^{z_{2}}\right) \)を同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)まわりの\(z\)次のクロスモーメント（\(z\) the cross moment about the vector \(\left( a_{1},a_{2}\right) \)）と呼びます。

絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時分布が同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。さらに、\(\left( X,Y\right) \)の期待値\begin{equation*}\left( E\left( X\right) ,E\left( Y\right) \right) =\left( \int_{-\infty
}^{+\infty }\left[ x\cdot f_{X}\left( x\right) \right] dx,\int_{-\infty
}^{+\infty }\left[ y\cdot f_{Y}\left( y\right) \right] dy\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まる状況を想定します。その上で、以下の関係\begin{equation*}
z=z_{1}+z_{2}
\end{equation*}を満たす非負の整数\(z,z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} _{+}\)が与えられれば、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の\(\left(E\left( X\right) ,E\left( Y\right) \right) \)まわりの\(z\)次のクロスモーメント\begin{equation*}E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{z_{1}}\left[ Y-E\left( Y\right) \right] ^{z_{2}}\right) =\int_{x=-\infty }^{+\infty }\int_{y=-\infty
}^{+\infty }\left\{ \left[ x-E\left( X\right) \right] ^{z_{1}}\cdot \left[
y-E\left( Y\right) \right] ^{z_{2}}\cdot f_{XY}\left( x,y\right) \right\}
dxdy
\end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left(X,Y\right) \)の\(z\)次の中心クロスモーメント（\(z\) th central cross moment）と呼びます。これを、\begin{equation*}
\overline{\mu }\left( z_{1},z_{2}\right) =E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{z_{1}}\left[ Y-E\left( Y\right) \right] ^{z_{2}}\right)
\end{equation*}と表記することもできます。

クロスモーメントと分散の関係

同時確率変数のクロスモーメントと分散の間には以下の関係が成立します。

確率変数が独立である場合のクロスモーメント

絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時分布が同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。2つの非負の整数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{Z} _{+}\)について、クロスモーメントは、\begin{equation*}E\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) =\int_{x=-\infty }^{+\infty
}\int_{y=-\infty }^{+\infty }\left[ x^{z_{1}}\cdot y^{z_{2}}\cdot
f_{XY}\left( x,y\right) \right] dxdy
\end{equation*}と定義されますが、\(X\)と\(Y\)が独立である場合には以下の関係\begin{equation*}E\left( X^{z_{1}}Y^{z_{2}}\right) =E\left( X^{z_{1}}\right) \cdot E\left(
Y^{z_{2}}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

確率変数の和の累乗の期待値とクロスモーメント

絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時分布が同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。非負の整数\(z\in \mathbb{Z} _{+}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}E\left( \left( X+Y\right) ^{z}\right) =\sum_{k=0}^{z}\dbinom{z}{k}E\left(
X^{k}Y^{z-k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\dbinom{z}{k}=\frac{z!}{k!\left( z-k\right) !}
\end{equation*}です。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の\(z\)次のクロスモーメントをすべて特定すれば確率変数\(\left( X+Z\right) ^{z}\)の期待値を特定できるということです。

具体的には、\(z=0\)の場合の主張は、\begin{equation*}E\left( \left( X+Y\right) ^{0}\right) =\sum_{k=0}^{0}\dbinom{0}{k}E\left(
X^{k}Y^{-k}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
E\left( 1\right) =E\left( 1\right)
\end{equation*}ですが、これは明らかに成り立ちます。\(z=1\)の場合の主張は、\begin{eqnarray*}E\left( X+Y\right) &=&\sum_{k=0}^{1}\dbinom{1}{k}E\left( X^{k}Y^{1-k}\right)
\\
&=&\dbinom{1}{0}E\left( X^{0}Y^{1}\right) +\dbinom{1}{1}E\left(
X^{1}Y^{0}\right) \\
&=&E\left( Y\right) +E\left( X\right) \\
&=&E\left( X\right) +E\left( Y\right)
\end{eqnarray*}です。\(z=2\)の場合の主張は、\begin{eqnarray*}E\left( \left( X+Y\right) ^{2}\right) &=&\sum_{k=0}^{2}\dbinom{2}{k}E\left(
X^{k}Y^{2-k}\right) \\
&=&\dbinom{2}{0}E\left( X^{0}Y^{2}\right) +\dbinom{2}{1}E\left(
X^{1}Y^{1}\right) +\dbinom{2}{2}E\left( X^{2}Y^{0}\right) \\
&=&E\left( Y^{2}\right) +2E\left( XY\right) +E\left( X^{2}\right) \\
&=&E\left( X^{2}\right) +2E\left( XY\right) +E\left( Y^{2}\right)
\end{eqnarray*}です。\(z=3\)の場合の主張は、\begin{eqnarray*}E\left( \left( X+Y\right) ^{3}\right) &=&\sum_{k=0}^{3}\dbinom{3}{k}E\left(
X^{k}Y^{3-k}\right) \\
&=&\dbinom{3}{0}E\left( X^{0}Y^{3}\right) +\dbinom{3}{1}E\left(
X^{1}Y^{2}\right) +\dbinom{3}{2}E\left( X^{2}Y^{1}\right) +\dbinom{3}{3}E\left( X^{3}Y^{0}\right) \\
&=&E\left( Y^{3}\right) +3E\left( XY^{2}\right) +3E\left( X^{2}Y\right)
+E\left( X^{3}\right) \\
&=&E\left( X^{3}\right) +3E\left( X^{2}Y\right) +3E\left( XY^{2}\right)
+E\left( Y^{3}\right)
\end{eqnarray*}です。以降についても同様です。

特に、2つの確率変数\(X,Y \)が独立である場合には以下を得ます。

確率変数の積の累乗の期待値とクロスモーメント

絶対連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時分布が同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。非負の整数\(z\in \mathbb{Z} _{+}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}E\left( \left( XY\right) ^{z}\right) =E\left( X^{z}Y^{z}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、確率変数\(\left( XY\right)^{z}\)の期待値は同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の\(2z\)次のクロスモーメント\(E\left(X^{z}Y^{z}\right) \)と一致するということです。

特に、2つの確率変数\(X,Y \)が独立である場合には以下を得ます。