連続型確率変数のモード

連続型確率変数のモード

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、確率変数\(X\)の確率分布が確率密度関数\begin{equation*}f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :P\left( X\in B\right) =\int_{B}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。確率変数\(X\)の分布関数が、\begin{equation*}F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}である場合、以下の関係\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :F_{X}\left( x\right) =\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt
\end{equation*}もまた成立します。

離散型の確率変数\(X\)に対しては、実数\(m\in \mathbb{R} \)が\(X\)のモードであることを、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :P\left( X=m\right) \geq P\left( X=x\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。一方、絶対連続型の確率変数\(X\)に関しては、それが特定の値をとる確率は常にゼロであるため、上の命題は恒真式\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :0\geq 0
\end{equation*}になってしまいます。このような事情を踏まえると、絶対連続型の確率変数のモードについては、それを別の形で定義する必要があります。

絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(m\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f_{X}\left( m\right) \geq f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(m\)が\(f_{X}\)の大域的最大点である場合には、これを\(X\)のモード（mode）と呼びます。

微分を用いたモードの特定方法

絶対連続型確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。確率密度関数の定義より、\begin{eqnarray*}\forall x &\in &X\left( \Omega \right) :f_{X}\left( x\right) \geq 0 \\
\forall x &\not\in &X\left( \Omega \right) :f_{X}\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(X\)のモードは\(X\left( \Omega\right) \)上の点です。モードの定義より、\(X\)のモードは最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in X\left( \Omega \right) }\ f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}の解です。特に、\(X\left(\Omega \right) \)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるとともに\(f_{X}\)が\(X\left( \Omega \right) \)上の連続関数である場合には、最大値・最小値の定理より\(f_{X}\)は\(X\left( \Omega \right) \)上に最大点を持つため、\(X\)のモードが存在することが保証されます。さらに、以下の手順を通じて\(X\)のモードを求めることができます。

1. \(X\left( \Omega \right) \)の内点の中でも、局所最大化のための必要条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f_{X}^{\prime }\left( x\right) =0 \\&&\left( b\right) \ f_{X}^{\prime \prime }\left( x\right) <0
   \end{eqnarray*}を満たす点\(x\)をすべて特定する。
2. \(X\left( \Omega \right) \)の内点の中でも、\(f_{X}\)が微分可能ではない点をすべて特定する。
3. \(X\left( \Omega \right) \)の境界点をすべて特定する。
4. 以上の点の中でも\(f_{X}\)の値を最大化する点が最大点であり、したがってそれが\(X\)のモードである。

連続型確率変数のモードの個数

絶対連続型確率変数のモードは一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題