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連続型の確率分布

連続型確率変数のモーメント(積率)

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連続型確率変数のモーメント

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(X\)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。つまり、確率変数\(X\)の値が区間\(I\subset \mathbb{R} \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in I\right) =\int_{x\in I}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}であるということです。

自然数\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{m}
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(X^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。LOTUSを用いると、この確率変数\(X^{m}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X^{m}\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }x^{m}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}と定まりますが、これを確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメント(\(m\) thmoment)や原点まわりの\(m\)次のモーメント(\(m\) th moment about the origin)などと呼びます。モーメントを積率(moment)と呼ぶ場合もあります。

例(確率変数の積率)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}E\left( X^{1}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{1}f_{X}\left( x\right)
dx \\
E\left( X^{2}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{X}\left( x\right)
dx \\
E\left( X^{3}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{3}f_{X}\left( x\right)
dx \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。

例(確率変数の積率)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
2-x & \left( if\ 1<x\leq 2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の\(1\)次のモーメントは、\begin{eqnarray*}E\left( X^{1}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{1}f_{X}\left( x\right)
dx\quad \because \text{LOTUS} \\
&=&\int_{0}^{1}x^{2}dx+\int_{1}^{2}x\left( 2-x\right) dx \\
&=&\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\(X\)の\(2\)次のモーメントは、\begin{eqnarray*}E\left( X^{2}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{X}\left( x\right)
dx\quad \because \text{LOTUS} \\
&=&\int_{0}^{1}x^{3}dx+\int_{1}^{2}x^{2}\left( 2-x\right) dx \\
&=&\frac{1}{4}+\frac{11}{12} \\
&=&\frac{7}{6}
\end{eqnarray*}であり、\(X\)の\(3\)次のモーメントは、\begin{eqnarray*}E\left( X^{3}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{3}f_{X}\left( x\right)
dx\quad \because \text{LOTUS} \\
&=&\int_{0}^{1}x^{4}dx+\int_{1}^{2}x^{3}\left( 2-x\right) dx \\
&=&\frac{1}{5}+\frac{13}{10} \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}です。

確率変数の\(1\)次のモーメントは期待値と一致します。

命題(モーメントと期待値の関係)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。この場合、\begin{equation*}E\left( X\right) =E\left( X^{1}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。つまり、\(X\)の原点まわりの\(1\)次のモーメントは\(X\)の期待値と一致する。
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モーメントが存在するための条件(絶対値モーメント)

確率変数\(X\)の\(1\)次のモーメントは期待値と一致することが明らかになりました。確率変数の期待値は有限な実数として定まるとは限らないため、モーメントもまた有限な実数として定まるとは限らないということになります。モーメントが有限な実数として定まるための条件を明らかにします。

繰り返しになりますが、確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメントとは、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{m}
\end{equation*}を定める確率変数\(X^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の期待値\begin{equation*}E\left( X^{m}\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }x^{m}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}として定義されます。その一方で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left\vert X\right\vert ^{m}\left( \omega \right) =\left\vert X\left( \omega
\right) \right\vert ^{m}
\end{equation*}を定める確率変数\(\left\vert X\right\vert ^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、その期待値、すなわち\(m\)次のモーメントは、\begin{equation*}E\left( \left\vert X\right\vert ^{m}\right) =\int_{-\infty }^{+\infty
}\left\vert x\right\vert ^{m}f_{X}\left( x\right) dx\quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}として定まります。これを\(X\)の\(m\)次の絶対値モーメント(\(m\) th absolute value moment)と呼びます。

確率変数の\(m\)次の絶対値モーメントが有限な実数として定まる場合、\(m\)次のモーメントもまた有限な実数として定まることが保証されます。

命題(モーメントが存在するための条件)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、\(X\)の\(m\)次の絶対値モーメント\(E\left(\left\vert X\right\vert ^{m}\right) \)が有限な実数として定まる場合には、\(X\)の\(m\)次のモーメント\(E\left( X^{m}\right) \)もまた有限な実数として定まる。
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確率変数\(X\)の\(m\)次の絶対値モーメントが有限な実数として定まる場合、\(m\)次以下の任意の絶対値モーメントもまた有限な実数として定まることが保証されます。

命題(絶対値モーメントどうしの関係)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、\(X\)の\(m\)次の絶対値モーメント\(E\left(\left\vert X\right\vert ^{m}\right) \)が有限な実数として定まる場合には、\(k\leq m\)を満たす任意の自然数\(k\in \mathbb{N} \)について、\(X\)の\(k\)次の絶対値モーメント\(E\left(\left\vert X\right\vert ^{k}\right) \)もまた有限な実数として定まることが保証される。
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以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

命題(モーメントが存在するための条件)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、\(X\)の\(m\)次の絶対値モーメント\(E\left(\left\vert X\right\vert ^{m}\right) \)が有限な実数として定まる場合には、\(k\leq m\)を満たす任意の自然数\(k\in \mathbb{N} \)について、\(X\)の\(k\)次のモーメント\(E\left( X^{k}\right) \)もまた有限な実数として定まることが保証される。
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特定の値のまわりのモーメント

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(X\)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。自然数\(m\in \mathbb{N} \)と実数\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X-a\right) ^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) -a\right] ^{m}
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(\left( X-a\right) ^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この確率変数\(\left( X-a\right) ^{m}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( \left( X-a\right) ^{m}\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }\left(
x-a\right) ^{m}f_{X}\left( x\right) dx\quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}となりますが、これを確率変数\(X\)の\(a\)まわりの\(m\)次のモーメント(\(m\) th moment about the point \(a\))と呼びます。

例(確率変数の特定の点のまわりの積率)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}E\left( \left( X-a\right) ^{1}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left(
x-a\right) ^{1}f_{X}\left( x\right) dx \\
E\left( \left( X-a\right) ^{2}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left(
x-a\right) ^{2}f_{X}\left( x\right) dx \\
E\left( \left( X-a\right) ^{3}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left(
x-a\right) ^{3}f_{X}\left( x\right) dx \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。

連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。\(X\)の期待値\begin{equation*}E\left( X\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まる場合、\(X\)の期待値\(E\left( X\right) \)周りの\(m\)次のモーメント\begin{equation*}E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{m}\right) =\int_{-\infty
}^{+\infty }\left[ x-E\left( X\right) \right] ^{m}f_{X}\left( x\right)
dx\quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}をとることができます。これを確率変数\(X\)の\(m\)次の中心モーメント(\(m\) the central moment)と呼びます。

例(確率変数の中心モーメント)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
2-x & \left( if\ 1<x\leq 2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{X}\left( x\right) dx \\
&=&\int_{0}^{1}x^{2}dx+\int_{1}^{2}x\left( 2-x\right) dx \\
&=&\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\(X\)の\(3\)次の中心モーメントは、\begin{eqnarray*}E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{3}\right) &=&\int_{-\infty
}^{+\infty }\left[ x-E\left( X\right) \right] ^{3}f_{X}\left( x\right)
dx\quad \because \text{LOTUS} \\
&=&\int_{0}^{1}\left( x-1\right) ^{3}xdx+\int_{1}^{2}\left( x-1\right)
^{3}\left( 2-x\right) dx \\
&=&-\frac{1}{20}+\frac{1}{20} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。

確率変数の\(2\)次の中心モーメントは分散と一致します。

命題(モーメントと分散の関係)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。期待値\(E\left( X\right) \)が存在する場合、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。つまり、\(X\)の\(2\)次の中心モーメントは\(X\)の分散と一致する。
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確率変数\(X\)の\(a\)まわりの\(2\)次のモーメント\(E\left(\left( X-a\right) ^{2}\right) \)の水準は\(a\)の値に依存して変化しますが、その値は\(a=E\left(X\right) \)のもとで最小化されます。つまり、点\(a\)のまわりの\(2\)次のモーメントどうしを比べたとき、その中でも、\(2\)次の中心モーメントが最小になることが保証されます。加えて、先の命題より、それは分散と一致します。

命題(モーメントと分散の関係)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。期待値\(E\left( X\right) \)と分散\(\mathrm{Var}\left(X\right) \)が存在する場合、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\min_{a\in \mathbb{R} }E\left( \left( X-a\right) ^{2}\right) \\
E\left( X\right) &=&\mathrm{argmin}_{a\in \mathbb{R} }E\left( \left( X-a\right) ^{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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演習問題

問題(モーメント)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ a,b\right] \end{equation*}と表されるとともに、\(X\)の確率分布を描写する確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{b-a} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この確率変数\(X\)の\(5\)次の中心モーメントを求めてください。
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問題(モーメント)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&1 \\
E\left( X^{2}\right) &=&2 \\
E\left( X^{3}\right) &=&5
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。この確率変数\(X\)の\(3\)次の中心モーメントを求めてください。
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問題(自乗可積分確率変数)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況において、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X^{2}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{2}
\end{equation*}を定める確率変数\(X^{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と定義します。この確率変数\(X^{2}\)の期待値\begin{equation*}E\left( X^{2}\right)
\end{equation*}が有限な実数として定まる場合、もとの確率変数\(X\)は自乗可積分(square integrable)であると言います。自乗可積分な確率変数\(X\)に関しては、その分散\(\mathrm{Var}\left( X\right) \)と期待値\(E\left( X\right) \)がともに有限な実数として定まることを示してください。
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