教材一覧
教材一覧
教材検索

連続型の確率分布

連続型確率変数のモーメント(積率)

目次

Twitterで共有
メールで共有

連続型確率変数のモーメント

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が数直線\(\mathbb{R} \)上の区間であったり、互いに素な区間の和集合であるということです。加えて、確率変数\(X\)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。つまり、確率変数\(X\)の値が区間\(I\subset \mathbb{R} \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in I\right) =\int_{I}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}であるということです。

自然数\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{m}
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(X^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この確率変数\(X^{m}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X^{m}\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }x^{m}f_{X}\left( x\right)
dx\quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}となりますが、これを確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメント(\(m\) th moment)や原点まわりの\(m\)次のモーメント(\(m\)th moment about the origin)などと呼びます。モーメントを積率(moment)と呼ぶ場合もあります。

例(確率変数の積率)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}E\left( X^{1}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{1}f_{X}\left( x\right)
dx \\
E\left( X^{2}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{X}\left( x\right)
dx \\
E\left( X^{3}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{3}f_{X}\left( x\right)
dx \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。

例(確率変数の積率)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
2-x & \left( if\ 1<x\leq 2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の\(3\)次のモーメントは、\begin{eqnarray*}E\left( X^{3}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }x^{3}f_{X}\left( x\right)
dx\quad \because \text{LOTUS} \\
&=&\int_{0}^{1}x^{3}xdx+\int_{1}^{2}x^{3}\left( 2-x\right) dx \\
&=&\frac{1}{5}+\frac{13}{10} \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}です。

確率変数の\(1\)次のモーメントは期待値と一致します。

命題(モーメントと期待値の関係)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。この場合、\begin{equation*}E\left( X\right) =E\left( X^{1}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。つまり、\(X\)の原点まわりの\(1\)次のモーメントは\(X\)の期待値と一致する。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

特定の値のまわりのモーメント

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(X\)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。自然数\(m\in \mathbb{N} \)と実数\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X-a\right) ^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) -a\right] ^{m}
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(\left( X-a\right) ^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この確率変数\(\left( X-a\right) ^{m}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( \left( X-a\right) ^{m}\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }\left(
x-a\right) ^{m}f_{X}\left( x\right) dx\quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}となりますが、これを確率変数\(X\)の\(a\)まわりの\(m\)次のモーメント(\(m\) th moment about the point \(a\))と呼びます。

例(確率変数の特定の点のまわりの積率)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}E\left( \left( X-a\right) ^{1}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left(
x-a\right) ^{1}f_{X}\left( x\right) dx \\
E\left( \left( X-a\right) ^{2}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left(
x-a\right) ^{2}f_{X}\left( x\right) dx \\
E\left( \left( X-a\right) ^{3}\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left(
x-a\right) ^{3}f_{X}\left( x\right) dx \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。

連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。\(X\)の期待値\begin{equation*}E\left( X\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}が存在する場合、これは有限な実数であるため、\(X\)の期待値\(E\left(X\right) \)周りの\(m\)次のモーメント\begin{equation*}E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{m}\right) =\int_{-\infty
}^{+\infty }\left[ x-E\left( X\right) \right] ^{m}f_{X}\left( x\right)
dx\quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}をとることができます。これを確率変数\(X\)の\(m\)次の中心モーメント(\(m\) the central moment)と呼びます。

例(確率変数の中心モーメント)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
2-x & \left( if\ 1<x\leq 2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{X}\left( x\right) dx \\
&=&\int_{0}^{1}xxdx+\int_{1}^{2}x\left( 2-x\right) dx \\
&=&\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\(X\)の\(3\)次の中心モーメントは、\begin{eqnarray*}E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{3}\right) &=&\int_{-\infty
}^{+\infty }\left( x-E\left( X\right) \right) ^{3}f_{X}\left( x\right)
dx\quad \because \text{LOTUS} \\
&=&\int_{0}^{1}\left( x-1\right) ^{3}xdx+\int_{1}^{2}\left( x-1\right)
^{3}\left( 2-x\right) dx \\
&=&-\frac{1}{20}+\frac{1}{20} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。

確率変数の\(2\)次の中心モーメントは分散と一致します。

命題(モーメントと分散の関係)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。期待値\(E\left( X\right) \)が存在する場合、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。つまり、\(X\)の\(2\)次の中心モーメントは\(X\)の分散と一致する。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

確率変数\(X\)の\(a\)まわりの\(2\)次のモーメント\(E\left(\left( X-a\right) ^{2}\right) \)をとります。\(a\in \mathbb{R} \)を変化させると先の\(2\)次のモーメントの値も変化しますが、その値は\(a=E\left( X\right) \)のもとで最小化されるとともに、最小化された\(2\)次の中心モーメントの値は\(\mathrm{Var}\left( X\right) \)と一致します。

命題(モーメントと分散の関係)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。期待値\(E\left( X\right) \)と分散\(\mathrm{Var}\left(X\right) \)が存在する場合、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\min_{a\in \mathbb{R} }E\left( \left( X-a\right) ^{2}\right) \\
E\left( X\right) &=&\mathrm{argmin}_{a\in \mathbb{R} }E\left( \left( X-a\right) ^{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

演習問題

問題(モーメント)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ a,b\right] \end{equation*}と表されるとともに、\(X\)の確率分布を描写する確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{b-a} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この確率変数\(X\)の\(5\)次の中心モーメントを求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(モーメント)
連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&1 \\
E\left( X^{2}\right) &=&2 \\
E\left( X^{3}\right) &=&5
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。この確率変数\(X\)の\(3\)次の中心モーメントを求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitterで共有
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント